Cet article a pour but de présenter les formules des primitives pour la plupart des fonctions dites usuelles. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire.
Si vous cherchez des exercices sur les intégrales et que vous êtes dans le supérieur, c’est à cet endroit qu’il faut aller.
Dans la suite, c désigne une constante réelle.
Primitives des puissances
Commençons par les cas les plus simples : les fonctions puissances et les fonctions issues de l’exponentielle : 1, x, xn, la fonction inverse ou une puissance quelconque.
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Primitive}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
0 & c & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
1 & x+c & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
x & \dfrac{x^2}{2}+c & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
x^n, n \in \N & \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\frac{1}{x}& \ln |x|+c &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline \\
\frac{1}{x^n}, n\in \N^* & -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} +c&\mathbb{R}^* \\ \\ \hline \\
\sqrt{x} & \frac{2}{3}x\sqrt{x}+c & \mathbb{R}_+^* \\ \\ \hline \\
\text{Généralisation : } & \dfrac{1}{\alpha +1} x^{\alpha+1}+c & \mathbb{R}_+^* \text{ ou }\mathbb{R}\\
x^{\alpha}, \alpha\in \mathbb{R}\backslash\{-1\}& & \text{ou } \mathbb{R}^* \\ \\ \hline
\end{array}Primitives liées à l’exponentielle et au logarithme
Ici nous allons calculer les primitives des fonctions liées de près à l’exponentielle et au logarithme. Voici les formules pour toutes ces fonctions :
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Primitive}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
e^x & e^x+c & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
e^{ax}, a \in \mathbb{C} & \dfrac{1}{a}e^{ax}+c & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
a^x, a \in \mathbb{R}_+^* & \dfrac{1}{\ln a} a^x +c & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\ln (x) & x \ln x - x + c & \mathbb{R}_+^* \\ \\ \hline \\
\log_a x& \dfrac{1}{\ln a}(x \ln x - x) + c &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline
\end{array}Pour tout ce qui est logarithme, une intégration par parties permet de faire ce calcul.
Primitives des fonctions trigonométriques
Voici les formules pour calculer les primitives de cos, sin, tan, cotan, ch, sh, th, coth
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Primitive}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
\cos x & \sin x +c & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
\sin x &-\cos x +c& \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\tan x & -\ln(|\cos x|)+c & \left] -\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2} +k\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline \\
\text{cotan } x & \ln(|\sin x|)+c & \left] k\pi;(k+1)\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline \\
\text{ch } x & \text{sh }x+c &\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{sh } x & \text{ch }x +c&\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{th } x & \ln(\text{ch} x)+c& \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{coth } x & \ln(|\text{sh} x|)+c& \mathbb{R}^*\\ \\ \hline
\end{array}Primitives de Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth
Voici les primitives et ensembles de définition des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th.
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Primitive}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
\arccos x &x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+c & ]-1;1[ \\ \\\hline \\
\arcsin x & x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+c & ]-1;1[ \\ \\\hline \\
\arctan x & x \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+c& \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{argch } x &x \text{argch } x - \sqrt{x^2-1}+c & ]1;+\infty[ \\ \\ \hline \\
\text{argsh }x& x \text{argsh } x - \sqrt{x^2+1}+c&\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{argth } x& x\text{argth } x+\dfrac{1}{2}\ln(1-x^2) & ]-1;1[ \\ \\ \hline
\end{array}Comme pour le logarithme, ces primitives se calculent via une intégration par parties.
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