La formule de Grassmann est une formule qui semble évidente puisqu’elle ressemble à celle équivalente sur les cardinaux. Mais celle-ci concerne les espaces vectoriels.
Prérequis
Enoncé de la formule de Grassmann
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a alors
\dim(F) +\dim(G) = \dim(F+G) + \dim(F \cap G)
Démonstration
On va faire le lien avec la formule équivalente sur les cardinaux. Soit \mathcal{F} une base de F et \mathcal{G} une base de G. On a
\text{card}(\mathcal F) +\text{card}(\mathcal G) = \text{card}(\mathcal F\cup \mathcal G)+ \text{card}(\mathcal F\cap \mathcal G) Or, par identification, en utilisant le fait que le cardinal d’une base est égal à la dimension, on a :
- \text{card}(\mathcal F) = \dim(F)
- \text{card}(\mathcal G) = \dim(G)
- \text{card}(\mathcal F \cup \mathcal G) = \dim(F+G)
- \text{card}(\mathcal F \cap \mathcal G) = \dim(F\cap G)
On obtient donc bien le résultat voulu :
\dim(F) +\dim(G) = \dim(F+G) + \dim(F \cap G)
