La formule de Grassmann : Enoncé et démonstration

Découvrez la formule de Grassmann, une formule utile pour calculer rapidement la dimension de certains sous-espaces vectoriels
Formule de Grassmann

La formule de Grassmann est une formule qui semble évidente puisqu’elle ressemble à celle équivalente sur les cardinaux. Mais celle-ci concerne les espaces vectoriels.

Prérequis

Enoncé de la formule de Grassmann

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a alors

\dim(F) +\dim(G) = \dim(F+G) + \dim(F \cap G) 

Démonstration

On va faire le lien avec la formule équivalente sur les cardinaux. Soit \mathcal{F} une base de F et \mathcal{G} une base de G. On a

\text{card}(\mathcal F) +\text{card}(\mathcal G) = \text{card}(\mathcal F\cup \mathcal G)+ \text{card}(\mathcal F\cap \mathcal G) 

Or, par identification, en utilisant le fait que le cardinal d’une base est égal à la dimension, on a :

  • \text{card}(\mathcal F) = \dim(F)
  • \text{card}(\mathcal G) = \dim(G)
  • \text{card}(\mathcal F \cup \mathcal G) = \dim(F+G)
  • \text{card}(\mathcal F \cap \mathcal G) = \dim(F\cap G)

On obtient donc bien le résultat voulu :

\dim(F) +\dim(G) = \dim(F+G) + \dim(F \cap G) 
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