Montrer que deux matrices sont semblables fait partie des manipulations que l’on peut souvent être amené à faire lorsqu’on travaille avec des matrices. Dans cet article, nous allons voir les méthodes que l’on peut utiliser pour obtenir ce résultat.
Rappel : Matrices semblables
Soit \mathbb{K} un corps et n \in \mathbb{N}. Soient A,B \in M_n(\mathbb{K}) . A et B sont dites semblables s’il existe une matrice P \in Gl_n(\mathbb{K}) telle que A = P B P^{-1}
Rappelons aussi quelques propriétés des matrices semblables :
- Si A et B sont semblables alors elles ont même trace
- Si A et B sont semblables alors elles ont même déterminant
- Elles ont aussi le même rang
- Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme mais dans une base différente
- Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres
La similitude est une relation d’équivalence
Méthode
La méthode classique
2 matrices sont semblables si elles représentent le même endomorphisme. On peut donc disposer d’une matrice A et dire qu’elle représente un endomorphisme f dans la base canonique. Si on trouve une base dans laquelle la matrice de f et B alors A et B sont semblables.
Par exemple, si on veut montrer que les matrices
A = \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&0\\1& 0&0 \end{pmatrix},B = \begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&0&1\\1&1&1 \end{pmatrix}sont semblables. On remarque que si A représente un endomorphisme f dans la base canonique, on a :
\begin{array}{lll}
f(e_1) &=& e_1+e_2+e_3 \\
f(e_2) &=& e_1+e_2 \\
f(e_3) &=& e_1 \\
\end{array}Or, si on pose,
\begin{array}{lll}
e'_1 &=& e_2 \\
e'_2&=& e_3\\
e'_3&=& e_1 \\
\end{array}On a alors :
\begin{array}{lll}
f(e'_1) &=& f(e_2)= e_1+e_2= e'_1+e'_3 \\
f(e'_2)&=& f(e_3) = e_1=e'_3\\
f(e'_3)&=&f( e_1)=e_1+e_2+e_3=e'_1+e_2+e'_3 \\
\end{array}Qui a pour matrice B
De manière générale, si la matrice est plus complexe, on va poser un système pour trouver si A et B représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Avec la diagonalisation
Si on arrive à montrer que A et B sont semblables à une même matrice diagonale alors elles sont semblables entre elles.
Mais je vous conseille surtout de faire cela si l’une des deux matrices est déjà diagonale. Il suffit alors de diagonaliser l’autre.
On peut aussi faire de même avec la trigonalisation.
