Formule de Vandermonde : Exercice corrigé

Voici l’énoncé suivi de 2 démonstrations de la formule de Vandermonde

12 septembre 2022

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Dans cet article, nous allons démontrer et corriger la formule de Vandermonde, une formule appelant une somme qui peut s’avérer utile.

Table des matières

Enoncé de la formule de Vandermonde

Soient a, b et n trois entiers tels que $n \leq a+b$ . La formule de Vandermonde s’écrit

\binom{a+b}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}

Nous allons commencer par une démonstration calculatoire : on considère le polynôme $P$ défini par $P(X) = (1+X)^{a+b} = (1+X)^a (1+X)^b$ .

D’une part :

(1+X)^{a+b} = \sum_{k=0}^{a+b} \binom{a+b}{k} X^k

D’autre part :

\begin{array}{ll} (1+X)^a (1+X)^b & =\displaystyle \sum_{i=0}^{a} \binom{a}{i} X^i \sum_{j=0}^{b} \binom{b}{j} X^j\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^{a+b}\sum_{i+j=k} \binom{a}{i} X^i \binom{b}{j} X^j\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^{a+b}\sum_{i+j=k} \binom{a}{i}\binom{b}{j} X^{i+j}\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^{a+b} \left(\sum_{i=0}^k \binom{a}{i}\binom{b}{k-i}\right)X^{k} \end{array}

En prenant le terme de degré n de chaque côté, on obtient :

\binom{a+b}{n} = \sum_{i=0}^n \binom{a}{i}\binom{b}{n-i}

Ce qui est bien la formule recherchée

Considérons un ensemble E de cardinal $a+b$ . Pour cet ensemble, on a $\binom{a+b}{n}$ façons de choisir un sous-ensemble à n éléments.

D’autre part, si on découpe cet ensemble en deux ensembles de a et b éléments :

On choisit k éléments dans le premier ensemble : on a $\binom{a}{k}$ façons de les choisir
Il reste donc n – k éléments à choisir dans le second ensemble, on a $\binom{b}{n-k}$ façons de les choisir
On fait varier k de 0 à n : $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k}$

On a dénombré le même ensemble de deux manières différentes :

\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k}

Pour ceux qui préfèrent, voici le corrigé de la formule de Vandermonde en vidéo :