Formule de Vandermonde : Enoncé et démonstration

Voici l’énoncé suivi de 2 démonstrations de la formule de Vandermonde
Formule de Vandermonde

Dans cet article, nous allons démontrer et corriger la formule de Vandermonde, une formule appelant une somme qui peut s’avérer utile.

Enoncé de la formule de Vandermonde

Soient a, b et n trois entiers tels que n \leq a+b. La formule de Vandermonde s’écrit

\binom{a+b}{n}  = \sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}

Démonstration de la formule de Vandermonde

Démonstration 1 : Par le calcul

Nous allons commencer par une démonstration calculatoire : on considère le polynôme P défini par P(X) = (1+X)^{a+b} = (1+X)^a (1+X)^b.

D’une part :

(1+X)^{a+b} = \sum_{k=0}^{a+b} \binom{a+b}{k} X^k

D’autre part :

\begin{array}{ll}
(1+X)^a (1+X)^b & =\displaystyle \sum_{k=0}^{a} \binom{a}{i} X^i \sum_{k=0}^{b} \binom{b}{j} X^j\\
& =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i+j=k} \binom{a}{i} X^i  \binom{b}{j} X^j\\
& =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i+j=k} \binom{a}{i}\binom{b}{j} X^{i+j}\\
& =\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \left(\sum_{i=0}^k \binom{a}{i}\binom{b}{k-i}\right)X^{k}
\end{array}

En prenant le terme de degré n de chaque côté, on obtient :

 \binom{a+b}{n} = \sum_{i=0}^n \binom{a}{i}\binom{b}{n-i}

Ce qui est bien la formule recherchée

Démonstration 2 : Par dénombrement

Considérons un ensemble E de cardinal a+b. Pour cet ensemble, on a \binom{a+b}{n} façons de choisir un sous-ensemble à n éléments.

D’autre part, si on découpe cet ensemble en deux ensembles de a et b éléments :

  • On choisit k éléments dans le premier ensemble : on a \binom{a}{k} façons de les choisir
  • Il reste donc n – k éléments à choisir dans le second ensemble, on a \binom{b}{n-k} façons de les choisir
  • On fait varier k de 0 à n : \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k}

On a dénombré le même ensemble de deux manières différentes :

 \binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k}
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