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Loi géométrique : Cours et exercices corrigés

C’est l’une des premières lois de probabilités qu’on apprend, la loi géométrique est présente dans pas mal de situations de la vie quotidienne !

Prérequis

Définition

La loi géométrique est une loi de probabilité discrète avec un paramètre noté p. Elle a pour univers l’ensemble des entiers non nuls.

Définition à l’aide d’épreuves de Bernoulli

On dispose d’épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p avec 0 < p < 1. On note X le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès. Un tel X suit une loi géométrique de paramètre p. On pose q = 1 -p. On a alors la relation suivante :

\forall k \in \N^*, \mathbb{P}(X=k) = q^{k-1}p

La loi géométrique de paramètre p est notée G(p). Le terme général correspond à une suite géométrique de raison q et de premier terme p.

Concrètement, on lance une pièce, dont les lancers sont supposés indépendants, qui a une probabilité p de faire pile et q = 1-p de faire face. On lance la pièce jusqu’à obtenir pile. Si on s’arrête au n-ième lancer, alors on a fait n-1 fois faces (donc avec avec une probabilité q) et 1 fois pile (avec une probabilité p).

Propriétés

Espérance de la loi géométrique

L’espérance de la loi géométrique de paramètre p vaut 1/p. En voici la démonstration, par un calcul direct à l’aide d’une série. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) & =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} k \mathbb{P}(X=k)\\
& =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1} p\\
& =\displaystyle p\sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1} \\
\end{array}

On va maintenant considérer :

\dfrac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+ \infty} x^k 

En dérivant cette égalité, on obtient :

\dfrac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=1}^{+ \infty} kx^{k-1}

Le premier terme de la somme étant nul, on l’a enlevé.
On prend maintenant x = q pour obtenir :

 \sum_{k=1}^{+ \infty} kq^{k-1}=\dfrac{1}{(1-q)^2} =\dfrac{1}{p^2}

D’où :

\mathbb{E}(X) =p \sum_{k=1}^{+ \infty} kq^{k-1}=\dfrac{1}{p}

Variance de la loi géométrique

La variance de la loi géométrique vaut p/q2. Là aussi, on va faire un calcul direct. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} pk^2 q^{k-1}\\
 &= \displaystyle p\sum_{k=1}^{+\infty} k^2 q^{k-1}
\end{array}

On va dériver l’égalité suivante :

\dfrac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=1}^{+ \infty} kx^{k-1}

Pour obtenir :

\dfrac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=1}^{+ \infty} k(k-1)x^{k-2}

On a alors :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle p \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 q^{k-1}\\
&=\displaystyle pq \sum_{k=1}^{+\infty} k(k-1) q^{k-2}+p \sum_{k=1}^{+\infty} k q^{k-1}\\
&=\displaystyle pq\dfrac{2}{(1-q)^3}+p \dfrac{1}{(1-q)^2}\\
&=\displaystyle pq\dfrac{2}{p^3}+p \dfrac{1}{p^2}\\
&=\displaystyle \dfrac{2(1-p)+p}{p^2}\\
&=\displaystyle \dfrac{2-p}{p^2}
\end{array}

Ce qui se simplifie en :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) &= \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
&= \dfrac{2-p}{p^2} - \dfrac{1}{p^2}\\
&= \dfrac{1-p}{p^2}\\
&= \dfrac{q}{p^2}
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Loi sans mémoire

La loi géométrique est dite sans mémoire. Concrètement cela signifie que pour tous les entiers m et n non nuls :

\mathbb{P}_{X > n}(X > m+n) = \mathbb{P}(X > m)

Exercices corrigés de loi géométrique

Exercice 1

Enoncé :

On joue à un jeu dans lequel on lance une pièce bien équilibrée plusieurs fois de suite et on s’arrête dès que l’on obtient Pile.

Quelle est la probabilité que l’on s’arrête au bout de 3 lancers ?

Corrigé :

Le nombre de lancers nécessaire pour obtenir pile suit une loi géométrique de paramètre 1/2. On applique donc directement la formule

\mathbb{P}(X=3) = \dfrac{1}{2}\left( 1 - \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{8}

Exercice 2

Enoncé :

On suppose que le temps d’attente (en minutes) d’un métro suit une loi géométrique. Durant les heures de pointes du matin, le temps d’attente moyen d’un métro pour la ligne 3 est de 3 minutes tandis qu’il est de 2 min pour la ligne 14.

  1. Quels sont les paramètres des lois géométriques pour les lignes numéros 3 et 14 ?
  2. Quelle est la probabilité d’attendre entre 2 et 4 minutes un métro de la ligne 3 ? de la
    ligne 14 ?

Corrigé :
Question 1 :
On nous a donné l’espérance. Notons Y la loi de la ligne 3 et Z celle de la ligne 14. Notons pY le paramètre de la loi Y et pZ le paramètre de la loi Z. On a :

\mathbb{E}(Y) = 2

Or,

\mathbb{E}(Y) = \dfrac{1}{p_Y}

On en déduit donc

p_Y = \dfrac{1}{2}

De même,

p_Z = \dfrac{1}{3}

Question 2 :

Calculons directement :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(2 \leq Y \leq 4) &= \mathbb{P}(Y=2)+\mathbb{P}(Y=3)+\mathbb{P}(Y=4)\\
&= \dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{2} \right)^3\\
&= \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{16}\\
&= \dfrac{7}{16}
\end{array}

De même,

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(2 \leq Z \leq 4) &= \mathbb{P}(Z=2)+\mathbb{P}(Z=3)+\mathbb{P}(Z=4)\\
&= \dfrac{1}{3} \left(1-\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{1}{3} \left(1-\dfrac{1}{3} \right)^2+\dfrac{1}{3} \left(1-\dfrac{1}{3} \right)^3\\
&= \dfrac{2}{9} +\dfrac{4}{27} +\dfrac{8}{81}\\
&= \dfrac{38}{81}
\end{array}

Ce qui conclut cet exercice.

Enoncés d’exercices de loi géométrique

Exercice 1

On lance un dé continuellement jusqu’à l’obtention d’un 6. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir un premier 6 au troisième lancer ?
  2. Quelle est la probabilité qu’il faille plus de 8 lancers pour obtenir un 6 ?
  3. Si aucun 6 n’a été obtenu lors des 58 premiers lancers, quelle est la probabilité qu’au moins deux autres lancers soient nécessaires ?

Exercice 2

On a déja lancé une pièce équilibrée 18 fois et on a obtenu uniquement le côté face. Quelle est la probabilité que l’on obtienne pile au bout de 24 lancers ?

Exercice 3

On possède une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d’obtenir pile soit 0,1.

  1.  On lance 20 fois la pièce. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois pile?
  2.  On lance la pièce jusqu’à ce que l’on obtienne pile pour la première fois. Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers?

Exercice 4

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p

Calculer

\sum_{k=0}^{ + \infty}\mathbb{P}(X=2k)

La variable X a-t-elle plus de chances d’être pair ou impaire ?

Exercice 5

Un concierge rentre d’une soirée. Il dispose de n clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.

  1. Il essaie d’insérer les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n’a pas convenu. Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
  2. En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.

Exercice 6

Un photographe animalier se poste là où un chat sauvage passe parfois à l’aube, de façon totalement aléatoire. L’un de ses collègues lui a affirmé qu’au cours des deux mois précédents le félin était passé six fois et il en a conclu que la probabilité d’apparition du chat un matin donné s’établissait à 0,1.
Notre photographe ne peut consacrer que cinq jours à cet affût mais il partira avant s’il a pu photographier le chat. Selon les services de la météo, il pleuvra le deuxième jour. Sinon, il fera beau temps.

  1. Quelle est la probabilité de photographier le chat sous la pluie ?
  2. Quelle est la probabilité de photographier le chat au cours de ces cinq jours ?

Exercice 7

Démontrer que la loi géométrique est sans mémoire

Exercice 8

Probabilité de diagonalisabilité

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