Cours : Le changement d’indice

Le changement d’indice est une manipulation que l’on peut être amené à faire lorsqu’on manipule des sommes. Découvrez dans cet article cette notion !

Définition du changement d’indice

Admettons qu’on dispose d’une somme \displaystyle \sum_{k=p}^n u_k qu’on cherche à simplifier, on peut faire 2 manipulations :

• Une translation : on va donc poser l = k + i pour décaler tous les termes de i. Dans ce cas, on va réécrire la somme de cette manière : \displaystyle \sum_{l=p-i}^{n-i} u_{l+i} . Comme la variable de sommation est muette, on peut remplacer l par k pour garder le même nom d’indice de sommation : \displaystyle \sum_{k=p-i}^{n-i} u_{k+i}
• Changer l’ordre d’énumération, au lieu d’aller de p à n, on plutôt aller de n à p. Pour cela, on va poser l = n-k La somme devient alors \displaystyle \sum_{l=0}^{n-p} u_{n-l} . Attention, on somme du plus petit terme au plus grand terme donc dans ce cas là il faut bien échanger :
  • n devient n-n = 0 qu’on met en bas
  • p devient n – p qu’on met en haut
• On peut aussi séparer une somme en plusieurs sommes, en écrivant par exemple \displaystyle \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\lfloor} u_{2k}+\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\lfloor} u_{2k+1}

Lorsqu’on fait un changement d’indice, on change :

• La valeur des bornes
• Les indices à l’intérieur de la somme

Posez-vous sur un brouillon et réfléchissez aux nouvelles valeurs que prend votre suite.

Exemples de changement d’indice

En translation

La somme \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k+2} devient, en posant l = k +2, \displaystyle \sum_{l=2}^{n+2} \dfrac{1}{l} . En effet, la borne 0 devient 0+2 = 2, la borne n devient n+2 et \dfrac{1}{k+2} devient \dfrac{1}{l}

En changeant l’ordre d’énumération

On veut calculer la somme S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}. On fait alors un changement d’indice : l = n – k. La borne n devient 0, la borne 0 devient n et k \binom{n}{k} devient (n-k) \binom{n}{n-k}. On a ainsi :

\begin{array}{ll}
S_n &= \displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n (n-k) \binom{n}{n-k}\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n (n-k) \binom{n}{k}\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n n\binom{n}{k}-\displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\\
&= \displaystyle n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}-S_n\\
\end{array}

Ainsi,

2S_n = n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}= n2^n

D’où, si n=0, S_n = 0 et si n \geq 1

S_n = n2^{n-1}