Les séries alternées : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur les séries alternées : Définition, propriété, exemples et exercices
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Cet article a pour but de présenter les séries alternées à travers leur définition, la démonstration du théorème associé, des exemples et des exercices corrigés. Ce théorème là est l’un des seuls qui ne concerne pas les séries à termes positifs et peut s’avérer très utile dans de nombreuses situations

Théorème : le critère des séries alternées

Soit la série de terme général u_n \in \R . On suppose que

  • u_{n+1} est de signe opposé à u_n
  • La suite ( |u_n|)_{n \in \mathbb{N}} est décroissante vers 0

Alors la série \displaystyle \sum_{n} u_n converge.

De plus, si on note R_n = \displaystyle \sum_{k= n+1 }^{+\infty} u_k alors on a |R_n|\leq |u_{n+1}|

Exemples : Les séries de termes généraux ce qui suit vérifient le critères des séries alternées et sont donc convergentes :

  • \dfrac{(-1)^n}{n}
  • \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
  • \dfrac{(-1)^n}{\ln{n}}

Démonstration du critère des séries alternées

Notons S_n = \sum_{k=0}^n u_k et supposons sans perte de généralités, et quitte à considérer -u_n que u_0 est positif. La conséquence est que tous les termes pairs sont positifs et les termes impairs sont négatifs.

Considérons les suites extraites suivantes :

  • v_n = S_{2n}
  • w_n = S_{2n+1}

On a :

  • v_{n+1}- v_n = S_{2n+2} - S_{2n} = u_{2n+2} - u_{2n} \geq 0
  • w_{n+1} - w_{2n}= S_{2n+3}- S_{2n+1}= u_{2n+3}-u_{2n+2} \leq 0
  • w_n -v_n = S_{2n+1} - S_{2n} = u_{2n+1} \to_{n \to+\infty}0

Les suites (v_n) et (w_n) sont donc adjacentes. Les suites (v_n) et (w_n) convergent. La suite (S_n) est donc convergente car les termes pairs et impairs convergent vers la même limite.

Maintenant, on a R_n = S - S_n qui est du signe de (-1)^{n+1} et donc |S-S_n |\leq |S_{n+1}-S_n| \leq = |u_{n+1}| .

Exercices corrigés

Exercice 1174

Série alternée et sinus

Commençons par réécrire le terme à l’intérieur du sinus pour faire apparaitre une série alternée :

\begin{array}{ll}
\dfrac{n^3+1}{n^2+1} \pi & = \dfrac{n^3 +n }{n^2+1} \pi + \dfrac{-n+1}{n^2+1}\pi \\
&=n \pi + \dfrac{-n+1}{n^2+1}\pi \\
&=n \pi - \dfrac{n-1}{n^2+1}\pi \\
\end{array}

On a alors :

\begin{array}{ll}\sin \left(\dfrac{n^3+1}{n^2+1} \pi \right) &= \sin \left( n \pi  - \dfrac{n-1}{n^2+1}\pi \right)\\
&= (-1)^n \sin \left(  - \dfrac{n-1}{n^2+1}\pi \right)\\
&= (-1)^{n+1} \sin \left(  \dfrac{n-1}{n^2+1}\pi \right)\\
\end{array}

Montrons maintenant que ce qui est à l’intérieur du sinus est décroissant. En effet, si on pose v_n = \dfrac{n-1}{n^2+1}, on a

\begin{array}{ll}
v_{n+1}-v_n &= \dfrac{n}{(n+1)^2+1}- \dfrac{n-1}{n^2+1}\\
&=  \dfrac{n(n^2+1)-(n-1)((n+1)^2+1)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}\\
&=  \dfrac{n^3+n-(n-1)(n^2+2n+2)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}\\
&=  \dfrac{n^3+n-n^3+n^2-2n^2+2n-2n+2}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}\\
&=  \dfrac{-n^2+n+2}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}\\
&=  -\dfrac{(n+1)(n-2)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)} < 0 \\
\end{array}

Donc le terme à l’intérieur du sinus est décroissant, même en multipliant par \pi . Par croissance du sinus, \sin \left( \dfrac{n-1}{n^2+1}\pi \right) est décroissante vers 0.

On peut donc appliquer le critère des séries alternées pour conclure que la série de terme général u_n est décroissante.

Exercice 1176

Ln(2) et série alternée

Tout d’abord, on a u_n = \dfrac{1}{n} décroissante vers 0. Donc, d’après le critère des séries alternées, \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} est alternée.

Maintenant, la fonction t \to \ln(1+t) . D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange, appliquée à f(1), on a :

\left| \ln(2) - \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \right| \leq \dfrac{M}{(n+1)!}

Avec M = \sup_{x \in [0,1]} |f^{(n+1)}(x)| . Or, on montre par récurrence que

f^{(n+1)}(x) = \dfrac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}

On a donc M = n ! . Ainsi,

\left| \ln(2) - \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \right| \leq \dfrac{M}{(n+1)!} \leq \dfrac{1}{n+1}

Ce qui nous permet de conclure :

\lim_{n \to + \infty}  \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln(2)

Ce qui est bien le résultat recherché.

Exercice 1177

Terme général équivalent mais nature différente

Pour la première série, on peut bien appliquer le théorème des séries alternées : w_n \dfrac{1}{\sqrt{n}} est décroissante vers 0 et donc la série de terme général u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} converge.

Maintenant, pour v_n, multiplions par l’arc moitié :

\begin{array}{ll}
v_n &= \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} \\
 &= \dfrac{(-1)^n(\sqrt{n}-(-1)^n)}{(\sqrt{n}+(-1)^n)(\sqrt{n}-(-1)^n)}
 &= \dfrac{(-1)^n\sqrt{n}-1}{n-1}\\
 &= \dfrac{(-1)^n\sqrt{n}}{n-1} - \dfrac{1}{n-1}
\end{array}

On obtient donc la somme d’une série convergente (la première avec le critère des séries alternées) et d’une série divergente (la seconde par critère de Riemann). Conclusion la série diverge !

Ce qu’il faut retenir : Pour des séries dont le terme général n’est pas de signe constant, deux séries équivalentes ne sont pas de même nature.

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