La forme linéaire est un objet mathématique qu’on découvre généralement lorsqu’on a passé à faire une certaine quantité de temps sur les espaces vectoriels. Dans cet article, nous allons définir cette notion et donner des exemples essentiels
Prérequis
Définition
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Une forme linéaire est une application linéaire \varphi : E \to \mathbb{K}. L’image d’un vecteur par une forme linéaire est donc un scalaire.
Propriétés
Voici quelques propriétés des formes linéaires :
- Une forme linéaire est soit nulle soit surjective.
- Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité non nul.
Exemples
- L’application nulle qui à x associe 0_{\mathbb{K}} est une forme linéaire
- Sur l’espace des fonctions continues de [a;b] \to \R , l’intégration est une forme linéaire. </li> <li>Soit [katex]a \in \R . On considère l’espace des fonctions réelles à valeurs réelles. Alors l’application \varphi : f \mapsto f(a) est une forme linéaire.
- Une application qui à un vecteur x renvoie sa i-ème coordonnée est une forme linéaire.
- La trace d’une matrice est une forme linéaire
