Forme linéaire : Cours et exemples

Qu’est-ce qu’une forme linéaire ? Découvrez-le dans cet article qui présente ce cas particulier d’application linéaire
Forme linéaire

La forme linéaire est un objet mathématique qu’on découvre généralement lorsqu’on a passé à faire une certaine quantité de temps sur les espaces vectoriels. Dans cet article, nous allons définir cette notion et donner des exemples essentiels

Prérequis

Définition

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Une forme linéaire est une application linéaire \varphi : E \to \mathbb{K}. L’image d’un vecteur par une forme linéaire est donc un scalaire.

Propriétés

Voici quelques propriétés des formes linéaires :

  • Une forme linéaire est soit nulle soit surjective.
  • Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité non nul.

Exemples

  • L’application nulle qui à x associe 0_{\mathbb{K}} est une forme linéaire
  • Sur l’espace des fonctions continues de [a;b] \to \R , l’intégration est une forme linéaire. </li> <li>Soit [katex]a \in \R . On considère l’espace des fonctions réelles à valeurs réelles. Alors l’application \varphi : f \mapsto f(a) est une forme linéaire.
  • Une application qui à un vecteur x renvoie sa i-ème coordonnée est une forme linéaire.
  • La trace d’une matrice est une forme linéaire
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