Une question qui est souvent posée lorsqu’on travaillle avec des endormorphismes ou aussi des applications linéaires peut être : démontrer que ces deux endomorphismes sont égaux. Dans cet article, nous allons voir plusieurs méthodes pour le démontrer.
Méthode 1 : La méthode classique
Dans toute la suite, E désignera un \mathbb{K}-espace vectoriel, de dimension finie ou non. f et g désignent deux endomorphismes de E mais les résultats pourraient être étendus de manière générale
La première méthode est la méthode qu’on pourrait utiliser pour l’égalité de toute application. Il suffit de montrer que l’égalité pour tout x :
f = g \iff \forall x \in E, f(x) = g(x)
Méthode 2 : Avec une base
Si on connait une base de E, notée \mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} , il suffit de montrer que les deux applications sont égales sur la base, c’est la force d’avoir une application linéaire
f = g \iff \forall e_i \in \mathcal{B}, f(e_i) = g(e_i) C’est cette méthode que je vous recommande !
Méthode 3 : Avec les matrices
Pour montrer que deux applications linéaires ou endomorphismes sont égaux, on peut regarder leur matrice dans une même base. Si les deux matrices sont égales, alors les endomorphismes sont égaux.
En pratique, cette méthode n’a que peu d’intérêt. En fait, on arrive plus facilement au résultat juste en regardant l’image sur une base. Il n’y a pas besoin d’aller jusqu’à écrire la matrice.
