La dérivée d’une composée : Cours et exercices corrigés

Comment calculer la dérivée d’une. fonction composée ? C’est ce que nous allons voir dans cet article !
Composition

Quand on manque d’expérience avec les dérivées, calculer la dérivée d’une fonction composée peut s’avérer ardu. Dans cet article, vous allez voir tout ce qu’il faut savoir là-dessus.

Prérequis

Rappel : Les fonctions composées

Etant données 2 fonctions de la variable réelle f et g , on définit, sous réserve que cela soit bien définie la composée de f par g par \forall x \in D, (f \circ g)(x) = f(g(x)) D est l’ensemble de définition de la fonction composée.

Exemples

  • On peut prendre f et g définies par f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \sqrt{1+x^2} . On a alors, (f\circ g)(x)= \sqrt{1+x^2}
  • En prenant f et g définies par f(x) = x^3 + x , g(x) = \ln(x) , on obtient comme composée, (f\circ g)(x)= \ln(x)^3+\ln(x). Dans l’autre sens, on peut aussi calculer (g \circ f)(x) = \ln(x^3+x) .

De manière générale, f \circ g \neq g \circ f

La méthode pour dériver les fonctions composées

La formule générale est la suivante : (f\circ g)'(x) = (f' \circ g) (x) \times g'(x) . On a donc ce tableau qui permet d’avoir les composées des principales fonctions :

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
u^n & n u' .u^{n-1} &u \in \R, n \in \Z \\  \\\hline   \\
     \sqrt{u}  &\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} &u > 0 \\  \\\hline   \\
  \dfrac{1}{u}  &-\dfrac{u'}{u^2} &\forall x \in D, u(x) \neq 0 \\  \\\hline   \\
\ln u  &\dfrac{u'}{u} & u > 0  \\ \\ \hline   \\
     e^u  & u' e^u &\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \cos(u) & -u' \sin(u)&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \sin(u) & u' \cos(u)&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \tan(u) &u'(1+  \tan^2(u))&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
   \end{array}

La liste n’est pas exhaustive mais je pense que vous avez compris le principe. Maintenant, rien ne vaut la pratique !

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Dériver les fonctions suivantes :

  1. f_1: x \mapsto \cos(3x +2)
  2. f_2 : x \mapsto \ln(x^2+1)

    Corrigé :

    1. On applique les formules de dérivées de composées avec f(x) = \cos(x) et g(x) = 3x+1 . On obtient alors f_1'(x) = 3 (- \sin(3x+2)) = - 3 \sin(3x+2)
    2. Pour celles-ci, même topo avec cette fois f(x) = \ln(x) et g(x) = x^2+1 . On obtient alors f_2'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1)

    Exercice 2

    Enoncé : Dériver la fonction définie sur ]1, + \infty[ par h(x) = \sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}

    Corrigé : On a, avec les notations du cours f(x) = \sqrt{x} et g(x) = \dfrac{x^3}{x-1} .

    On a :

    • f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}}
    • g'(x) = \dfrac{3x^2(x-1)- x^3}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}

    Ainsi, h'(x) = g'(x) \times f'(g(x)) = \dfrac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2} \times \dfrac{1}{2\sqrt{x^3}{x-1}} = \dfrac{2x^3-3x^2}{2\sqrt{x^3}(x-1)\sqrt{x-1}}

    Exercice 3

    Enoncé : Dériver la fonction définie par f: x \mapsto 2 (6x- 21)^8

    Corrigé : On obtient, avec la formule définie dans la méthode : 2 \times 8 \times 6 \times (6x-21)^7 = 96 (6x-21)^7

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