La dérivée d’une composée : Cours et exercices corrigés

Quand on manque d’expérience avec les dérivées, calculer la dérivée d’une fonction composée peut s’avérer ardu. Dans cet article, vous allez voir tout ce qu’il faut savoir là-dessus.

Prérequis

• La dérivation
• Les dérivées usuelles

Rappel : Les fonctions composées

Etant données 2 fonctions de la variable réelle f et g , on définit, sous réserve que cela soit bien définie la composée de f par g par \forall x \in D, (f \circ g)(x) = f(g(x)) où D est l’ensemble de définition de la fonction composée.

Exemples

• On peut prendre f et g définies par f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \sqrt{1+x^2} . On a alors, (f\circ g)(x)= \sqrt{1+x^2}
• En prenant f et g définies par f(x) = x^3 + x , g(x) = \ln(x) , on obtient comme composée, (f\circ g)(x)= \ln(x)^3+\ln(x). Dans l’autre sens, on peut aussi calculer (g \circ f)(x) = \ln(x^3+x) .

De manière générale, f \circ g \neq g \circ f

La méthode pour dériver les fonctions composées

La formule générale est la suivante : (f\circ g)'(x) = (f' \circ g) (x) \times g'(x) . On a donc ce tableau qui permet d’avoir les composées des principales fonctions :

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
u^n & n u' .u^{n-1} &u \in \R, n \in \Z \\  \\\hline   \\
     \sqrt{u}  &\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} &u > 0 \\  \\\hline   \\
  \dfrac{1}{u}  &-\dfrac{u'}{u^2} &\forall x \in D, u(x) \neq 0 \\  \\\hline   \\
\ln u  &\dfrac{u'}{u} & u > 0  \\ \\ \hline   \\
     e^u  & u' e^u &\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \cos(u) & -u' \sin(u)&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \sin(u) & u' \cos(u)&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
     \tan(u) &u'(1+  \tan^2(u))&\mathbb{R}  \\  \\ \hline
   \end{array}

La liste n’est pas exhaustive mais je pense que vous avez compris le principe. Maintenant, rien ne vaut la pratique !

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Dériver les fonctions suivantes :

1. f_1: x \mapsto \cos(3x +2)
2. f_2 : x \mapsto \ln(x^2+1)

Corrigé :

1. On applique les formules de dérivées de composées avec f(x) = \cos(x) et g(x) = 3x+1 . On obtient alors f_1'(x) = 3 (- \sin(3x+2)) = - 3 \sin(3x+2)
2. Pour celles-ci, même topo avec cette fois f(x) = \ln(x) et g(x) = x^2+1 . On obtient alors f_2'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1)

Exercice 2

Enoncé : Dériver la fonction définie sur ]1, + \infty[ par h(x) = \sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}

Corrigé : On a, avec les notations du cours f(x) = \sqrt{x} et g(x) = \dfrac{x^3}{x-1} .

On a :

• f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}}
• g'(x) = \dfrac{3x^2(x-1)- x^3}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}

Ainsi, h'(x) = g'(x) \times f'(g(x)) = \dfrac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2} \times \dfrac{1}{2\sqrt{x^3}{x-1}} = \dfrac{2x^3-3x^2}{2\sqrt{x^3}(x-1)\sqrt{x-1}}

Exercice 3

Enoncé : Dériver la fonction définie par f: x \mapsto 2 (6x- 21)^8

Corrigé : On obtient, avec la formule définie dans la méthode : 2 \times 8 \times 6 \times (6x-21)^7 = 96 (6x-21)^7