Les limites usuelles : Toutes les formules à connaitre

Voici toutes les limites usuelles à connaitre pour le bac et la prépa. Les formules sont classées par famille : puissances, exponentielle, logarithme, puis les limites classiques calculées via un taux d’accroissement.

Cette fiche est un aide-mémoire. Pour comprendre d’où viennent ces résultats et apprendre à les utiliser dans un calcul de limite, consultez nos articles sur la croissance comparée et les équivalents usuels

Les limites issues des puissances

Soit n > 0, voici les limites pour les puissances de x. Ces résultats se retrouvent facilement en visualisant les courbes de x^n et \frac{1}{x^n}.

\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n& =  & +\infty\\
\displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt x& =  & 0\\
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt x& =  & +\infty\\
\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^n}& =  & 0\\
\displaystyle \lim_{x \to  0^+} \dfrac{1}{x^n}& =  & +\infty\\
 \end{array}

La dernière limite (\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty) explique pourquoi on ne peut pas diviser par 0.

Les limites issues de l’exponentielle

Voici les limites à connaitre pour la fonction exponentielle. L’exponentielle « l’emporte » toujours : elle tend vers +\infty plus vite que n’importe quelle puissance de x (c’est la croissance comparée).

\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x \to + \infty}e^x& =  & +\infty\\
\displaystyle \lim_{x \to -\infty}e^x& =  & 0\\
\displaystyle \lim_{x \to + \infty}e^{-x}& =  & 0\\
\displaystyle \lim_{x \to -\infty}e^{-x}& =  & +\infty\\ 
\end{array}

Les limites issues du logarithme

Voici les limites à connaitre pour la fonction logarithme (lien vers article logarithme). Le logarithme est « la plus lente » des fonctions usuelles : il tend vers +\infty moins vite que n’importe quelle puissance de x.

\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x \to 0}\ln(x)& =  & -\infty\\
\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\ln(x)& =  & +\infty\\ 
\displaystyle \lim_{x \to 0}x\ln(x)& =  & 0\\
\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}& =  & 0\\ 
\end{array}

Les deux dernières limites (\lim_{x \to 0} x \ln x = 0 et \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0) sont des résultats de croissance comparée : la puissance l’emporte toujours sur le logarithme.

Les limites classiques issues d’un taux d’accroissement

Ces limites sont celles que l’on retrouve en écrivant le taux d’accroissement (lien existant vers taux d’accroissement) d’une fonction en 0 :

 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)

Par exemple, \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 car \sin'(0) = \cos(0) = 1.

\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}& =  &1\\
\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}& =  &1\\
\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}& =  &1\\
\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x}& =  &1\\
\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}& =  &\dfrac{1}{2}\\
\end{array}

Ces limites sont aussi les équivalents usuels (lien vers /les-equivalents-usuels/) en 0 : par exemple \sin(x) \sim x en 0 signifie exactement que \frac{\sin x}{x} \to 1.

Comment retenir ces limites

Il n’est pas nécessaire d’apprendre ces 18 formules par cœur si vous retenez trois idées :

La hiérarchie des croissances : en +\infty, le logarithme est toujours écrasé par n’importe quelle puissance, qui est toujours écrasée par l’exponentielle. Autrement dit :

 \ln x \ll x^\alpha \ll e^x \quad (x \to +\infty, \; \alpha > 0)

Cela donne directement les limites \frac{\ln x}{x} \to 0 et \frac{x^n}{e^x} \to 0. Pour un cours complet sur ce sujet, consultez notre article sur la croissance comparée.

Les limites en 0 viennent du taux d’accroissement : toutes les limites de la dernière section se ramènent à f'(0). Si vous connaissez vos dérivées, vous retrouvez ces limites instantanément.

Le lien avec les équivalents : \frac{f(x)}{g(x)} \to 1 signifie que f(x) \sim g(x). Apprendre les équivalents usuels revient à apprendre les limites de taux d’accroissement, et vice versa.

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