Dans cet article, nous allons étudier les notions de PGCD et PPCM, mais appliquées au polynômes, vous allez voir, il y a de grandes similarités avec ce que l’on retrouve pour les entiers, mais aussi des différences !
Prérequis
Définition du PGCD pour les polynômes
Soit \mathbb{K} un anneau. Soit P_1 et P_2 deux polynômes de mathbb{K}[X].
On définit D un PGCD de P_1 et P_2 comme vérifiant :
- Le polynôme D divise les polynômes P_1 et P_2
- Tout polynôme divisant P_1 et P_2
Il existe un unique polynôme unitaire vérifiant ces conditions. On note ce polynôme PGCD(P_1,P2)
Comment calculer le PGCD ?
La réponse est simple ! Il suffit de faire l’algorithme d’Euclide, mais adapté à des polynômes :
Polynômes premiers entre eux
Deux polynômes sont dits premiers entre eux si 1 est un PGCD de A et B.
De manière générale, soit D = PGCD (A,B) . On a alors l’existence de A_1 et B_1 tels que A = DA_1 et B=DB_1 et on a alors PGCD(A_1,B_1) = 1
PPCM
Soit P_1 et P_2 deux polynômes de mathbb{K}[X]. On dit que M est un PPCM de P_1 et P_2 si M est un polynôme de plus bas degré de l’ensemble des multiples non nuls communs à P_1 et P_2.
Le PPCM est donc défini à une constante près.
Autre définition : Un polynôme M est un PPCM (plus petit commun multiple) s’il vérifie les deux conditions :
- Le polynôme M est un multiple commun des polynômes P_1 et P_2
- Tout polynôme multiple de P_1 et P_2 est aussi multiple de M
Si on suppose A et B unitaires, on a AB = PGCD(A,B) PPCM(A,B)
Comment calculer le PPCM ?
On calcule d'abord le PGCD et on utilise la formule juste au-dessus, c'est la méthode qui me parait être la meilleure !
