Cet article a pour but de corriger quelques exercices sur les sommes. Les connaissances de base sur la manipulation des sommes sont nécessaires.
Exercice 502
Si vous le préférez, cet exercice est corrigé sur notre chaine YouTube.
Démarrons la correction et faisons un calcul direct en faisant un téléscopage :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{k=0}^n k.k! &= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1-1).k!\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1).k! - k!\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)! - k!\\
&= (n+1)! -1
\end{array}Ce qui est donc le résultat attendu !
Exercice 620
Faisons ce qu’on appelle une décomposition en éléments simples : on a cherche a, b et c tels que
\dfrac{k-5}{k(k^2-1)} = \dfrac{a}{k-1}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k+1}Pour cela, on met tout au même dénominateur :
\begin{array}{ll}
\dfrac{k-5}{k(k^2-1)}& = \dfrac{ak(k+1)}{k(k^2-1)}+ \dfrac{b(k-1)(k+1)}{k(k^2-1)}+ \dfrac{ck(k-1)}{k(k^2-1)}\\
& = \dfrac{ak^2+ak+bk^2 - b+ck^2 -ck}{k(k^2-1)}\\
& = \dfrac{k^2(a+b+c)+k(a-c)-b}{k(k^2-1)}
\end{array}Ce qui nous fait alors un système à 3 équations et 3 inconnues en identifiant selon le degré en k au numérateur :
\begin{array}{ll}&\left\{ \begin{array}{ll}
a+b+c = 0\\
a-c = 1\\
-b = -5
\end{array}\right.\\
\iff & \left\{ \begin{array}{ll}
a +c = -5\\
a-c = 1\\
b = 5
\end{array}\right. \\
\iff &\left\{ \begin{array}{ll}
2a = -5+1=-4\\
2c =-5- 1=-6\\
b = 5
\end{array}\right. \\
\iff &\left\{ \begin{array}{ll}
a = -2\\
c =-3\\
b = 5
\end{array}\right. \\
\end{array}On a ainsi :
\dfrac{k-5}{k(k^2-1)} = \dfrac{-2}{k-1}+\dfrac{5}{k}+\dfrac{-3}{k+1}On va alors réécrire la somme sous la forme
\begin{array}{ll}
\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{k-5}{k(k^2-1)}&=\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{-2}{k-1}+\dfrac{5}{k}+\dfrac{-3}{k+1}\\
&= \displaystyle\sum_{k=2}^n 2 \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k-1}\right)+3\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\\
&= \dfrac{2}{n}-2+3\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{n+1}\\
&=-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n+1}\\
\end{array}Ce qui nous donne bien la convergence recherchée.
Exercice 1009
Exercice 622
Tout d’abord, si x =1, alors
\sum_{k=1}^n kx^{k-1} =\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}Maintenant, si k \geq 1, alors considérons f définie sur \R\backslash \{1\} par
f(x) = \sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}f est dérivable et sa dérivée vaut d’une part
f'(x) = \sum_{k=0}^n kx^{k-1}=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}Et d’autre part,
f'(x) = \dfrac{(n+1)x^{n}(x-1) - (x^{n+1} -1)}{(x-1)^2}= \dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n +1}{(x-1)^2}D’où si x \neq 1,
\sum_{k=1}^n kx^{k-1}= \dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n +1}{(x-1)^2}Ce qui conclut cet exercice.
