Exercices corrigés : Calculs de sommes

Voici quelques exercices corrigés sur les sommes. Des connaissances de base sur ce sujet sont à connaitre
Signe somme

Cet article a pour but de corriger quelques exercices sur les sommes. Les connaissances de base sur la manipulation des sommes sont nécessaires.

Exercice 502

Somme à simplifier

Si vous le préférez, cet exercice est corrigé sur notre chaine YouTube.

Démarrons la correction et faisons un calcul direct en faisant un téléscopage :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{k=0}^n k.k! &= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1-1).k!\\
 &= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1).k! - k!\\
 &= \displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)! - k!\\
&= (n+1)! -1
\end{array}

Ce qui est donc le résultat attendu !

Exercice 620

Décomposition en éléments simples puis somme

Faisons ce qu’on appelle une décomposition en éléments simples : on a cherche a, b et c tels que

\dfrac{k-5}{k(k^2-1)} = \dfrac{a}{k-1}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k+1}

Pour cela, on met tout au même dénominateur :

\begin{array}{ll}
\dfrac{k-5}{k(k^2-1)}& = \dfrac{ak(k+1)}{k(k^2-1)}+ \dfrac{b(k-1)(k+1)}{k(k^2-1)}+ \dfrac{ck(k-1)}{k(k^2-1)}\\
& = \dfrac{ak^2+ak+bk^2 - b+ck^2 -ck}{k(k^2-1)}\\
& = \dfrac{k^2(a+b+c)+k(a-c)-b}{k(k^2-1)}
\end{array}

Ce qui nous fait alors un système à 3 équations et 3 inconnues en identifiant selon le degré en k au numérateur :

\begin{array}{ll}&\left\{ \begin{array}{ll}
a+b+c = 0\\
a-c = 1\\
-b = -5
\end{array}\right.\\
\iff & \left\{ \begin{array}{ll}
a +c = -5\\
a-c = 1\\
b = 5
\end{array}\right. \\
\iff  &\left\{ \begin{array}{ll}
2a =  -5+1=-4\\
2c =-5- 1=-6\\
b = 5
\end{array}\right.  \\
\iff  &\left\{ \begin{array}{ll}
a = -2\\
c =-3\\
b = 5
\end{array}\right.  \\
\end{array}

On a ainsi :

\dfrac{k-5}{k(k^2-1)} = \dfrac{-2}{k-1}+\dfrac{5}{k}+\dfrac{-3}{k+1}

On va alors réécrire la somme sous la forme

\begin{array}{ll}
\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{k-5}{k(k^2-1)}&=\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{-2}{k-1}+\dfrac{5}{k}+\dfrac{-3}{k+1}\\
&= \displaystyle\sum_{k=2}^n 2 \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k-1}\right)+3\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\\
&= \dfrac{2}{n}-2+3\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{n+1}\\
&=-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n+1}\\
\end{array}

Ce qui nous donne bien la convergence recherchée.

Exercice 1009

Formule d'inversion de Pascal

Exercice 622

Somme classique dérivée géométrique

Tout d’abord, si x =1, alors

\sum_{k=1}^n kx^{k-1} =\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}

Maintenant, si k \geq 1, alors considérons f définie sur \R\backslash \{1\} par

f(x) = \sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}

f est dérivable et sa dérivée vaut d’une part

f'(x) = \sum_{k=0}^n kx^{k-1}=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}

Et d’autre part,

f'(x) = \dfrac{(n+1)x^{n}(x-1) - (x^{n+1} -1)}{(x-1)^2}= \dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n +1}{(x-1)^2}

D’où si x \neq 1,

\sum_{k=1}^n kx^{k-1}= \dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n +1}{(x-1)^2}

Ce qui conclut cet exercice.

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