La symétrie fait partie des concepts essentiels qu’il est nécessaire de connaitre lorsqu’on travaille avec des espaces vectoriels. Dans cet article, nous allons présenter cette notion, en étudier les propriétés principales et faire un exercice qui permet de bien comprendre ce concept
Prérequis
- Espaces vectoriels
- Sous-espaces vectoriels
- Espaces vectoriels supplémentaires
- Applications linéaires
- Projecteur
Définition d’une symétrie
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels tels que E = F \oplus G . On sait donc que pour x élément de E, on a \exists ! y \in F, z \in G, x = y+z . La symétrie sur F parallèlement à G noté p est l’endomorphisme défini par
s : \left\{ \begin{array}{ccc} E = F \oplus G & \to & E \\ x =y+z & \mapsto & y -z
\end{array} \right.Propriétés des symétries
Les symétries vérifient les propriétés suivantes :
- s^2 = Id . La réciproque est vraie et c’est donc une caractérisation utile pour montrer qu’on a une symétrie. La symétrie est donc une involution
- - s est la symétrie sur G parallèlement à F
- Si p est le projecteur sur F parallèlement à G alors s = 2p - Id est la symétrie sur F parallèlement à G.
- Dans une base adaptée à F et G, la matrice d’une symétrie peut s’écrire
\begin{pmatrix}
I_r & 0_{r,n-r} \\
0_{n-r,r} & - I_{n-r}
\end{pmatrix}Exercices corrigés
Exercice 104
Enoncé
Corrigé
Remarquons que
\begin{array}{ll}
&(s-p) \circ (s+p) = 0 \\
\iff& s^2 + s \circ p - p \circ s - p^2 = 0 \\
\iff & I_n + s \circ p - p \circ s - p = 0
\end{array}p est le projecteur sur F parallèlement à G. s est le projecteur sur F’ parallèlement à G’.
Soit x \in E . On peut écrire x = y + z, y \in F, z \in G et on va décomposer y et z selon F’ et G’. On a alors y = y' + y'', y \in F', y'' \in G'; z = z' + z'' , z' \in F', z'' \in G'. Ainsi,
\begin{array}{ll}
&(s-p) \circ (s+p) (x)= 0 \\
\iff & ( I_n + s \circ p - p \circ s - p)(x) = 0\\
\iff & x + s \circ p (x) - p \circ s(x) - p(x) = 0 \\
\iff & x + s (y) - p (y'-y'' + z'-z'') - y = 0 \\
\iff & x + y'-y'' - (y'-y'') - y = 0 \\
\iff & x - y = 0 \\
\iff & x =y \\
\end{array}Donc nécessairement z = 0. D’où G = \{0 \}. Et p(x) =y = x . D’où p =I_n ce qui conclut cet exercice de symétrie.
