Exercice corrigé : constante de la Gaussienne

Voici un exercice corrigé détaillé à propos de la constante de la densité gaussienne.
Constante de la gaussienne exercice

Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice de fonction définie par une intégrale. Il a pour but de calculer la constante de l’intégrale de la densité gaussienne. C’est un exercice associé au chapitre des intégrales. Il faut être au point sur les intégrales à paramètres. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Question 1

F est bien définie

Premier point :

t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue donc continue par morceaux donc intégrable sur un intervalle. Donc F est bien définie.

F est continue

On a déjà vu que :

t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue donc continue par morceaux. De plus

x \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue.
On a l’inégalité suivante :

\forall x \in I, \left|\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\right|  \leq \dfrac{1}{t^2+1} 

Qui est une majoration indépendante de x.
Ces trois points suffisent donc à affirmer que F est continue.

F est dérivable

Dérivons la fonction par rapport à x :

\dfrac{\partial }{\partial x}  \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} =-2xe^{-x^2(t^2+1)}

Cette dérivée est bien continue par morceaux par rapport à t et continue par rapport à x sur I.
De plus,

\forall x \in [0,a],\left| -2x{e^{-x^2(t^2+1)}}\right|\leq 2x \leq 2a

Qui est une majoration indépendante de x.
Toutes ces propriétés permettent donc d’affirmer que F est bien dérivable sur [0,a] et donc sur I en faisant tendre a vers l’infini. De plus, on a

F'(x) =\int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dt

Question 2

L’affirmation suivante va permettre de répondre facilement à la question :

x \mapsto e^{-x^2} \text{ est continue sur I}

Donc le cours nous permet d’affirmer que

x \mapsto \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt \text{ est définie et dérivable sur I}

Puis, en élevant au carré :

x \mapsto \displaystyle \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2 \text{ est dérivable sur I}

Maintenant, calculons la dérivée de G :

G'(x) = 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt

Montrons maintenant l’égalité demandée :

\begin{array}{l}
F'(x) + G'(x) \\
=\displaystyle  \int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dt+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^1 x{e^{-x^2t^2}} dt+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
\text{On pose u = tx dans la première intégrale}\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^x {e^{-u^2}} du+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=0
\end{array}

Ce qui est bien l’égalité recherchée !

Question 3

On déduit de la question 2 que F + G est de dérivée nulle. F + G est donc une fonction constante. Trouvons la valeur de cette constante

\begin{array}{l}
(F+G)(0)\\
=\displaystyle \int_0^1  \dfrac{e^{-0^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt +\left(\int_0^0 e^{-t^2}dt\right)^2\\
= \displaystyle \int_0^1  \dfrac{1}{t^2+1}dt+0\\
=\arctan(1) -\arctan(0)
= \dfrac{\pi}{4}
\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat voulu !

Question 4

Trouvons une majoration de F adaptée à la question. On a :

e^{-x^2(t^2+1)}=e^{-x^2t^2}e^{-x^2}\leq e^{-x^2}

Donc, on peut majorer de la manière suivante :

\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\leq \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}

Et en intégrant de chaque côté :

\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1  \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dt

Ce qui nous amène au résultat suivant :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1  \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow \displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\int_0^1  \dfrac{1}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow  
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\dfrac{\pi}{4}
\end{array}

On a majoré une quantité positive par une quantité qui tend vers 0. Par théorème d’encadrement, on a donc :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} = 0

Question 5

On a, par continuité de la fonction constante :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)+G'(x) = \dfrac{\pi}{4}

Or, on a montré à la question précédente que :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)=0

On en déduit donc que :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} G'(x) = \dfrac{\pi}{4}

Ce qui fait qu’on peut écrire que :

\left(\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt\right)^2 =  \dfrac{\pi}{4}

On conclut donc avec le résultat voulu en prenant la racine :

\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt =  \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

Ce qui permet de conclure la question et l’exercice ! Et voilà maintenant vous savez d’où vient la constante de la densité de la gaussienne !

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