Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice de fonction définie par une intégrale. Il a pour but de calculer la constante de l’intégrale de la densité gaussienne. C’est un exercice associé au chapitre des intégrales. Il faut être au point sur les intégrales à paramètres. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :
Question 1
F est bien définie
Premier point :
t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} est continue donc continue par morceaux donc intégrable sur un intervalle. Donc F est bien définie.
F est continue
On a déjà vu que :
t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} est continue donc continue par morceaux. De plus
x \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} est continue.
On a l’inégalité suivante :
\forall x \in I, \left|\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\right| \leq \dfrac{1}{t^2+1} Qui est une majoration indépendante de x.
Ces trois points suffisent donc à affirmer que F est continue.
F est dérivable
Dérivons la fonction par rapport à x :
\dfrac{\partial }{\partial x} \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} =-2xe^{-x^2(t^2+1)}Cette dérivée est bien continue par morceaux par rapport à t et continue par rapport à x sur I.
De plus,
\forall x \in [0,a],\left| -2x{e^{-x^2(t^2+1)}}\right|\leq 2x \leq 2aQui est une majoration indépendante de x.
Toutes ces propriétés permettent donc d’affirmer que F est bien dérivable sur [0,a] et donc sur I en faisant tendre a vers l’infini. De plus, on a
F'(x) =\int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dtQuestion 2
L’affirmation suivante va permettre de répondre facilement à la question :
x \mapsto e^{-x^2} \text{ est continue sur I}Donc le cours nous permet d’affirmer que
x \mapsto \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt \text{ est définie et dérivable sur I}Puis, en élevant au carré :
x \mapsto \displaystyle \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2 \text{ est dérivable sur I}Maintenant, calculons la dérivée de G :
G'(x) = 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dtMontrons maintenant l’égalité demandée :
\begin{array}{l}
F'(x) + G'(x) \\
=\displaystyle \int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dt+ 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^1 x{e^{-x^2t^2}} dt+ 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
\text{On pose u = tx dans la première intégrale}\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^x {e^{-u^2}} du+ 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=0
\end{array}Ce qui est bien l’égalité recherchée !
Question 3
On déduit de la question 2 que F + G est de dérivée nulle. F + G est donc une fonction constante. Trouvons la valeur de cette constante
\begin{array}{l}
(F+G)(0)\\
=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{-0^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt +\left(\int_0^0 e^{-t^2}dt\right)^2\\
= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{t^2+1}dt+0\\
=\arctan(1) -\arctan(0)
= \dfrac{\pi}{4}
\end{array}Ce qui nous donne bien le résultat voulu !
Question 4
Trouvons une majoration de F adaptée à la question. On a :
e^{-x^2(t^2+1)}=e^{-x^2t^2}e^{-x^2}\leq e^{-x^2}Donc, on peut majorer de la manière suivante :
\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\leq \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}Et en intégrant de chaque côté :
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1 \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dtCe qui nous amène au résultat suivant :
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1 \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow \displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\int_0^1 \dfrac{1}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\dfrac{\pi}{4}
\end{array}On a majoré une quantité positive par une quantité qui tend vers 0. Par théorème d’encadrement, on a donc :
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} = 0Question 5
On a, par continuité de la fonction constante :
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)+G'(x) = \dfrac{\pi}{4}Or, on a montré à la question précédente que :
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)=0On en déduit donc que :
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} G'(x) = \dfrac{\pi}{4}Ce qui fait qu’on peut écrire que :
\left(\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}On conclut donc avec le résultat voulu en prenant la racine :
\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}Ce qui permet de conclure la question et l’exercice ! Et voilà maintenant vous savez d’où vient la constante de la densité de la gaussienne !
Cet exercice vous a plu ?
