Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice de fonction définie par une intégrale. Il a pour but de calculer la constante de l’intégrale de la densité gaussienne. C’est un exercice associé au chapitre des intégrales. Il faut être au point sur les intégrales à paramètres. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Question 1

F est bien définie

Premier point :

t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue donc continue par morceaux donc intégrable sur un intervalle. Donc F est bien définie.

F est continue

On a déjà vu que :

t \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue donc continue par morceaux. De plus

x \mapsto \displaystyle \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} 

est continue.
On a l’inégalité suivante :

\forall x \in I, \left|\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\right|  \leq \dfrac{1}{t^2+1} 

Qui est une majoration indépendante de x.
Ces trois points suffisent donc à affirmer que F est continue.

F est dérivable

Dérivons la fonction par rapport à x :

\dfrac{\partial }{\partial x}  \dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} =-2xe^{-x^2(t^2+1)}

Cette dérivée est bien continue par morceaux par rapport à t et continue par rapport à x sur I.
De plus,

\forall x \in [0,a],\left| -2x{e^{-x^2(t^2+1)}}\right|\leq 2x \leq 2a

Qui est une majoration indépendante de x.
Toutes ces propriétés permettent donc d’affirmer que F est bien dérivable sur [0,a] et donc sur I en faisant tendre a vers l’infini. De plus, on a

F'(x) =\int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dt

Question 2

L’affirmation suivante va permettre de répondre facilement à la question :

x \mapsto e^{-x^2} \text{ est continue sur I}

Donc le cours nous permet d’affirmer que

x \mapsto \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt \text{ est définie et dérivable sur I}

Puis, en élevant au carré :

x \mapsto \displaystyle \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2 \text{ est dérivable sur I}

Maintenant, calculons la dérivée de G :

G'(x) = 2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt

Montrons maintenant l’égalité demandée :

\begin{array}{l}
F'(x) + G'(x) \\
=\displaystyle  \int_0^1 -2x{e^{-x^2(t^2+1)}} dt+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^1 x{e^{-x^2t^2}} dt+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
\text{On pose u = tx dans la première intégrale}\\
=\displaystyle -2e^{-x^2} \int_0^x {e^{-u^2}} du+  2 e^{-x^2} \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt\\
=0
\end{array}

Ce qui est bien l’égalité recherchée !

Question 3

On déduit de la question 2 que F + G est de dérivée nulle. F + G est donc une fonction constante. Trouvons la valeur de cette constante

\begin{array}{l}
(F+G)(0)\\
=\displaystyle \int_0^1  \dfrac{e^{-0^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt +\left(\int_0^0 e^{-t^2}dt\right)^2\\
= \displaystyle \int_0^1  \dfrac{1}{t^2+1}dt+0\\
=\arctan(1) -\arctan(0)
= \dfrac{\pi}{4}
\end{array}

Ce qui nous donne bien le résultat voulu !

Question 4

Trouvons une majoration de F adaptée à la question. On a :

e^{-x^2(t^2+1)}=e^{-x^2t^2}e^{-x^2}\leq e^{-x^2}

Donc, on peut majorer de la manière suivante :

\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}\leq \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}

Et en intégrant de chaque côté :

\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1  \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dt

Ce qui nous amène au résultat suivant :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq \int_0^1  \dfrac{e^{-x^2}}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow \displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\int_0^1  \dfrac{1}{t^2+1}dt\\
\Leftrightarrow  
\displaystyle \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1}dt\leq e^{-x^2}\dfrac{\pi}{4}
\end{array}

On a majoré une quantité positive par une quantité qui tend vers 0. Par théorème d’encadrement, on a donc :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \int_0^1\dfrac{e^{-x^2(t^2+1)}}{t^2+1} = 0

Question 5

On a, par continuité de la fonction constante :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)+G'(x) = \dfrac{\pi}{4}

Or, on a montré à la question précédente que :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F'(x)=0

On en déduit donc que :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} G'(x) = \dfrac{\pi}{4}

Ce qui fait qu’on peut écrire que :

\left(\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt\right)^2 =  \dfrac{\pi}{4}

On conclut donc avec le résultat voulu en prenant la racine :

\int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt =  \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

Ce qui permet de conclure la question et l’exercice ! Et voilà maintenant vous savez d’où vient la constante de la densité de la gaussienne !

Cet exercice vous a plu ?

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