Enoncé et corrigé : Baccalauréat Spécialité Mathématiques – 20 mars 2023

Voici le corrigé proposé par Progresser-en-maths sur le tant attendu sujet du baccalauréat en France de l’enseignement de spécialité mathématique pour l’année 2023. Voici donc le sujet et la correction du sujet du 20 mars 2023.

Enoncé

Corrigé

Exercice 1

Question 1

On a :

\mathbb{P}_G(D) = \dfrac{\mathbb{P}(G \cap D) }{\mathbb{P}(G)}= \dfrac{0,002}{0,2}= 0,01

La bonne réponse est b.

Question 2

On a, d’après la formule des probabilités totales :

\mathbb{P}(G \cap D) + \mathbb{P}(\bar G \cap D) = \mathbb{P}( D)

D’où

 \mathbb{P}(\bar G \cap D) = \mathbb{P}( D)-\mathbb{P}(G \cap D) = 0,082 - 0,002 = 0,08

La bonne réponse est b.

Question 3

On cherche à calculer \mathcal{P}_D(G) . Pour cela, on utilise :

\mathbb{P}_D(G) = \dfrac{\mathbb{P}(G \cap D) }{\mathbb{P}(D)}= \dfrac{0,002}{0,082}\approx 0,024

La bonne réponse est b.

Question 4

On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X>2) &= 1-(\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=0)) \\
&\displaystyle= 1-\binom{50}{2}(1-0,082)^{48}0,082^2 -\\ &\displaystyle\binom{50}{1}(1-0,082)^{49}0,082^{1}-\binom{50}{0}(1-0,082)^{50}0,082^0\\
&\displaystyle= 1- 1225 (1-0,082)^{48}0,082^2-\\&50(1-0,082)^{49}0,082-0,082^{50}\\
& \approx 0,789
\end{array}

La réponse est donc b.

Question 5

On a

\mathbb{P}(X=0) = \binom{n}{0}0,082^0 (1-0,082)^{n-0} = 0,918^n 

A la calculatrice, on vérifie que n = 10 est la plus grande valeur. La réponse est donc c.

Exercice 2

Question 1

On sait que \displaystyle \lim_{x \to 0 } \ln(x)= - \infty . On en déduit donc que \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) =\lim_{x \to 0}x^2 -8 \ln (x)= + \infty

Question 2

• D’une part, on a \displaystyle \lim_{x \to +\infty } x^2= + \infty
• D’autre part, on a, par croissance comparée \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \left(1- 8 \dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)= 1
• Donc, par produit de limites, on a \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x)= + \infty

Question 3

Faisons le calcul attendu en prenant l’expression de base :

f'(x) = 2x - 8\dfrac{1}{x} = 2\times \left(x - \dfrac{4}{x}\right) = \dfrac{2(x^2-4)}{x}

Question 4

On a, sur ]0;+\infty[, f'(x) \geq 0 \iff x^2 -4 \geq 0 \iff x^2 \geq 4 \iff x \geq 2. Ces inégalités sont valables car x est positif.

Cela nous donne le tableau de variation suivant :

Le minimum est donc atteint pour x = 2 avec f(2) = 4 - 8 \ln(2)

Question 5

On a :

• f est continue sur [0;2]
• \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) > 0
• f(2) = 4- 8 \ln(2) \approx - 1,5 < 0
• De plus, f’ est négative sur cet intervalle.

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique \alpha tel que f(\alpha) = 0

Question 6

On a :

• Si x \in ]0;\alpha[, f(x) > 0
• Si x \in ]\alpha;\beta[, f(x) < 0
• Si x \in ]\beta,+\infty[, f(x) > 0

Question 7

Comme, f atteint son minimum en x =2, c’est aussi le cas pour g_k qui est la fonction f translatée de k. On a donc : g_k(2) = 4- 8\ln(2) + k \geq 0 \iff k \geq 8 \ln(2) - 4 .

Exercice 3

Partie A

Question 1 : On a :

• u_2 = 0,9 u_1 + 1,3 = 0,9 \times 3 + 1,3 = 4
• u_3 = 0,9 u_2 + 1,3 = 0,9 \times 4 + 1,3 = 4,9

Cela signifie que le second mois on aura 400 questions et 490 pour le 3ème mois.

Question 2 : Initialisation : On démarre à n = 1. On a 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^1 = 13 - \dfrac{100}{9}\times \dfrac{9}{10} = 13 - 10 =3 = u_1. L’initialisation est vérifiée.

Hérédité : Soit n un entier naturel non nul fixé. On suppose que pour ce n, u_n = 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^n. On a :

\begin{array}{ll}
u_{n+1}&=0,9u_n +1,3\\
&= 0,9\times\left(13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^n\right)+1,3\\
&= 0,9\times 13 -0,9 \dfrac{100}{9}\times 0,9^n+13 \times 0,1\\
&= 13 \times (0,9+0,1) -0,9 \dfrac{100}{9}\times 0,9^n\\
&= 13  - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}\\
\end{array}

Ce qui est bien le résultat attendu.

Conclusion : pour tout n entier non nul, on a u_n = 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}

Question 3 : On a : u_{n+1} - u_n = 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}- \left(13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} \right) = \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}\times 0,9 = \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} (1- 0,9) = 0,1 \times \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} > 0 . La suite (u_n) est donc croissante.

Question 4 :

\begin{array}{ll}
&u_n  >  8,5\\
\iff & 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} > 8,5\\
\iff &  \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} < 13 - 8,5\\
\iff & 0,9^{n} < \dfrac{9}{100}\times 4,5\\
\iff & 0,9^{n} < \dfrac{81}{200}\\
  \iff & n \log_{10}(0,9) <  \log_{10}\left( \dfrac{81}{200} \right)\\
  \iff & n > \dfrac{ \log_{10}\left( \dfrac{81}{200} \right)}{ \log_{10}(0,9)} \approx 8,58
\end{array}

C’est le seuil à partir duquel u_n > 8,5 et donc cela revient à chercher au bout de combien de mois on dépasse 850 questions dans la FAQ.

Partie B

Question 1 : On a :

• v_1 = 9 - 6 \times e^{-0,19(1-1)} = 9-6 = 3
• v_1 = 9 - 6 \times e^{-0,19(2-1)} = 9-6e^{-0,19} \approx 4,04

Question 2 : On résout :

\begin{array}{ll}
&u_n  >  8,5\\
\iff & 9 -  6 \times e^{-0,19(n-1)}  > 8,5\\
  \iff &6 \times e^{-0,19(n-1)} < 0,5\\
  \iff & e^{-0,19(n-1)} < \dfrac{1}{12}\\
  \iff & -0,19(n-1) < \ln\left(\dfrac{1}{12}\right)\\
  \iff & 0,19(n-1) >  \ln(12)\\
  \iff & n-1 >  \dfrac{\ln(12)}{0,19}\\
  \iff & n >1+  \dfrac{\ln(12)}{0,19} \approx 14,07\\
\end{array}

Donc n = 15 est la plus petite valeur telle que v_n > 8,5

Partie C

Question 1 : La première modélisation donne n = 9 d’après la partie a question 4.

La seconde modélisation donne n = 15 d’après la question précédente.

C’est donc la première modélisation qui conduit le plus tôt à procéder à cette modification.

Question 2 : On démontre que :

• La suite (u_n) converge vers 13.
• La suite (v_n) converge vers 9.

Donc sur le long terme, c’est pour la première modélisation qu’il y a le plus de questions.

Exercice 4

Question 1

E est le point de la troisième coordonnée du repère. E a donc pour coordonnées (0,0,1)

Ensuite, on a

\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} 

Donc les coordonnées de C sont (1,1,0).

Maintenant, on a aussi :

\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE}

Ainsi, G a pour coordonnées (1,1,1)

Question 2

Le vecteur CE vaut : \overrightarrow{CE} = (0-1,0-1,1-0)= (-1,-1,1)

E appartient à la droite. Donc une représentation paramétrique de la droite (EC) est :

\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& -t \\
y &= &-t \\
z &=& t+1
\end{array}\right.

Question 3

On a :

• \overrightarrow{GB} = (0,1,1)
• \overrightarrow{GD} = (1,0,1)

Ainsi :

• \overrightarrow{GB}.\overrightarrow{EC} = (0,1,1).(-1,-1,1) = 0 -1+1 = 0
• \overrightarrow{GD}.\overrightarrow{EC} = (1,0,1).(-1,-1,1) = -1+0+1 = 0

Cela suffit pour dire que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD)

Question 4

Question a : Comme on connait un vecteur normal, on sait directement que l’équation est de la forme x+y-z +d =0 . On sait aussi que G appartient au plan. On a donc, en prenant ses coordonnées : 1+1-1+d = 0 \iff d = -1 . Une équation du plan est donc x+y-z-1 = 0

Question b :

• Si on prend dans la représentation paramétrique t = - \dfrac{2}{3}, on obtient bien les coordonnées de I.
• Si on prend les coordonnées de I dans l’équation, on obtient : \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3} -1 =0 . Donc I appartient bien au plan (GBD)

Ainsi, I est bien le point d’intersection entre le plan (GBD) et la droite (EC)

Question c : Il suffit de calculer IE :

IE = \sqrt{\left(0-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(0-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{3 \dfrac{4}{9}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}

Ce qui est le résultat voulu.

Question 5

Question a : On a :

• \overrightarrow{BD} = (-1,0,1)
• \overrightarrow{BG} = (0,1,1)
• \overrightarrow{GD} = (1,0,1)

On trouve alors BD = BG = GD = \sqrt{2} . Ainsi, les 3 côtés sont de même longueur, donc le triangle BDG est équilatéral.

Question b : JG est une hauteur. Calculons la. J est le milieu de [BD] donc ses coordonnées sont \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right). Ainsi,

JG = \sqrt{\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(1-0\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} 

L'aire vaut donc

Aire = \dfrac{JG \times BD}{2} = \dfrac{\sqrt{\frac{3}{2}}\times \sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Question 6

On a

Volume = \dfrac{Aire \times IE}{3} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2\sqrt{3}}{3}}{3} = \dfrac{ 1}{3}

Ce qui est le résultat recherché.

Ceci termine la correction de ce sujet de mathématiques spécialité France du 20 mars 2023.