La formule des probabilités totales : Démonstration et exercices

Cette formule est essentielle en probabilité, la formule des probabilités totales est à connaitre dès lors qu’on fait des probabilités.

Enoncé de la formule des probabilités totales

Un cas particulier

Soient A et B deux évènements de probabilité non nulle. On a alors la relation suivante :

\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B\cap A) +\mathbb{P}(B\cap \bar{A})

Cas général

Soit un espace probabilisé

(\Omega, A , \mathbb{P})

Si (B_i) est un système complet d’évènements (SCE) et si la probabilité de chacun de ces évènements est non nulle alors

\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P} (A |B_i)\mathbb{P}(B_i) = \sum_{i \in I} P(A \cap B_i) 

Démonstration de la formule des probabilités totales

Voici une démonstration directe permettant de démontrer la formule des probabilités totales. On va commencer par faire le cas fini :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(A)& = \mathbb{P}(A \cap \Omega) \\
 & = \mathbb{P}(A \cap (B_1 \cup \ldots \cup B_n)) \\
 & = \mathbb{P}((A \cap B_1) \cup \ldots \cup(A\cap B_n)) \\
 & = \mathbb{P}(A \cap B_1 ) +  \ldots + \mathbb{P}(A \cap B_n ) 
\end{array}

On a utilisé le fait que les évènements B_i et B_j sont incompatibles et donc pareil en intersectant avec A.

Faisons la démonstration dans le cas d’une famille finie ou dénombrable :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(A)& = \mathbb{P}(A \cap \Omega) \\
 & = \mathbb{P}(A \cap (\cup_{ i \in I} B_i)) \\
 & = \mathbb{P}(\cup_{i \in I}(A \cap B_i) ) \\
 & =\displaystyle\sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i ) 
\end{array}

Ce qui nous donne bien la démonstration dans le cas général

Exercices

Exercice 1

Des ordinateurs de marques A, B ou C constituent un parc de matériel informatique. Ces ordinateurs sont référencés dans des fiches au service de maintenance. Les ordinateurs sont soit fixes soit portables

1. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 30% sont des fixes.
2. 30% des ordinateurs sont de la marque B et 10% d’entre eux sont des portables.
3. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 40% d’entre eux sont des fixes.

On consulte au hasard la fiche d’un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d’un ordinateur fixe ?

Exercice 2

Un sac contient des dés. 80 % de ces dés sont truqués et 20 % sont normaux. Lorsque les dés sont truqués, la probabilité d’obtenir un 6 est de 0,4. Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ?

Exercice 3 – Extrait du Bac ES – Session de septembre 2019

Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu’il reçoit.

Il a reçu 1 500 flacons d’un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site A et le site B. Sur les 1 500 flacons de ce modèle reçus, 900 proviennent du site A, les autres du site B.

Le grossiste s’intéresse à l’aspect du flacon. Parmi les flacons provenant du site A, 95% ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que 92% des flacons provenant du site B ont un aspect conforme.

Il prélève au hasard un des flacons qu’il a reçus lors de la dernière livraison.

On note :

• A l’évènement « le flacon provient du site A »
• B l’évènement « le flacon provient du site B » ;
• C l’évènement « le flacon a un aspect conforme au cahier des charges ».

1. Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges.
2. Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est 0,938.

Exercice 4

Un livreur de colis constate que 5% des paquets qu’il a à distribuer ne sont pas en bon état.

• Lorsque le paquet est n’est pas en bon état, il est refusé par 90% des clients et renvoyé à l’expéditeur.
• On accepte 99% des paquets en bon état et les autres sont refusés pour diverses raisons.

A la fin de sa tournée, le livreur prend au hasard un des bons de livraison. On note :

• A l’évènement : “Le colis correspondant est en mauvais état”.
• B l’évènement : “Le client a refusé le colis”.

Calculer p(B)

Exercice 5 – Supérieur

On transmet une information à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, l’information reçue d’une personne est transmise telle quelle à la personne suivante. Avec une probabilité 1−p, l’information reçue d’une personne est transmise de façon contraire à la personne suivante. On note p_n la probabilité que l’information après n transmissions soit correcte.

1.  Donner une relation de récurrence entre p_n+1 et p_n.
2.  En déduire la valeur de p_n en fonction de p et de n.
3.  En déduire la limite en l’infini de p_n. Qu’en pensez-vous?