Les suites arithmético-géométriques : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but d’expliquer une méthode systématique pour résoudre les suites arithmético-géométriques. Vous voulez en savoir plus ? C’est parti ! Cette notion est abordable en fin de lycée ou en début de prépa (notamment pour la démonstration).

Prérequis

• Les suites arithmétiques
• Les suites géométriques

Définition

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurrente de la forme :

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = a\times u_n + b 

Avec a,b \in \R ≠ 1

Comment résoudre une suite arithmético-géométrique ?

Voici comment résoudre les suites arithmético-géométriques.

Si a = 1, c’est une suite arithmétique, si b = 0, c’est une suite géométrique. Et donc dans ces, on va les résoudre en tant que telles.

Maintenant, si a \neq 1 et b \neq 0 , on recherche un point fixe. C’est à dire qu’on fait l’hypothèse que \forall n \in \N, \ u_n = l

Donc on va résoudre l’équation l = a\times l +b , ce qui nous donne :

\begin{array}{l}
l = a\times l +b\\
\Leftrightarrow l - a\times l = b \\
\Leftrightarrow l \times (1-a) = b \\
\Leftrightarrow l = \dfrac{b}{1-a}
\end{array}

On va ensuite poser ce qu’on appelle une suite auxilaire. On introduit la suite v_n définie par v_n = u_n - l. Exprimons v_n en fonction de n. Pour cela, montrons d’abord que c’est une suite géométrique :

\begin{array}{l}
v_{n+1} = u_{n+1}-l \\
v_{n+1} = a u_n+b-(al+b) \\
v_{n+1} = a u_n+b-al-b \\
v_{n+1} = a u_n-al \\
v_{n+1} = a (u_n-l) \\
v_{n+1} = av_n\\
\end{array}

v_n est donc une suite géométrique de raison a.
En utilisant le cours sur les suites géométriques, voici comment comment exprimer une suite arithmético-géoémétrique en fonction de n :

\begin{array}{l}
v_n = a^n v_0\\
v_n = a^n(u_0-l) \\
v_n=a^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right)
\end{array}

Puis en inversant la relation qui relie u_n et v_n, on obtient la formule des suites arithmético-géométriques en fonction des paramètres a, b et u₀ :

\begin{array}{l}
u_n = v_n +l\\
u_n = a^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right) + \dfrac{b}{1-a}
\end{array}

Et donc connaissant, u₀, on a bien exprimé u_n en fonction de n.

Voici cette démonstration en vidéo :

Exercice corrigé

Soit la suite arithmético-géométrique suivante :

\begin{array}{l}
u_0 = 5 \\
\forall n \in \N, \  u_{n+1}=2u_n + 1
\end{array}

Exprimer u_n en fonction de n.

Résolution : On cherche d’abord un point fixe :

\begin{array}{ll}
&l=2l +1\\
\Leftrightarrow &l = -1
\end{array}

On va donc poser

\forall n \in \N, v_n = u_n + 1

v_n est alors une suite géométrique de raison a = 2.

On a donc :

v_n = 2^n v_0=2^n(u_0+1) = 6\times 2^n

Et finalement, on obtient u_n :

\begin{array}{l}
u_n = v_n-1 \\
u_n= 6\times 2^n -1
\end{array}

Et pour résoudre les suites arithmético-géométriques, c’est toujours cette méthode ! Il faut juste faire attention que ce n’est pas juste une suite arithmétique ou une suite géométrique.

Voici la correction en vidéo :

Exercices

Exercice 1 – Issu du bac Liban ES/L 2013
On considère la suite (u_n) définie par u₀=10 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}= 0,9u_n +1,2

1. On considère la suite v_n définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n-12
   1. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer v_n en fonction de n.
   3. En déduire que pour tout entier naturel n : u_n = 12-2×0,9ⁿ​​.
2. Déterminer la limite de la suite (v_n) et en déduire celle de la suite (u_n).

Exercice 2
Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 4 et u_n+1 = 0,95 u_n + 0,5

1. Exprimer u_n en fonction de n
2. En déduire sa limite.

Exercice 3
Un club de sport compte en 2021, 400 membres. Chaque année, 80% des membres renouvellent leur adhésion et on compte 80 nouveaux membres.

1. Modéliser cette situation par une suite (u_n).
2. Déterminer les cinq premiers termes de la suite.
3. Conjecturer le sens de variation de (u_n) et sa limite.
4. Trouver l’expression de u_n en fonction de n.
5. En déduire la limite de la suite (u_n). Quelle interprétation peut-on en faire ?

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