Cet article a pour but d’expliquer une méthode systématique pour résoudre les suites arithmético-géométriques. Vous voulez en savoir plus ? C’est parti !

Prérequis

Définition

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurrente de la forme :

\forall n \in \N, \ u_{n+1} = a\times u_n + b 

Avec :

Résolution

Voici comment résoudre les suites arithmético-géométriques.

On recherche un point fixe. C’est à dire qu’on fait l’hypothèse que

\forall n \in \N, \ u_n = l

Donc on va résoudre l’équation

l = a\times l +b 

Ce qui nous donne :

\begin{array}{l}
l = a\times l +b\\
\Leftrightarrow l - a\times l = b \\
\Leftrightarrow l \times (1-a) = b \\
\Leftrightarrow l = \dfrac{b}{1-a}
\end{array}

On va ensuite poser ce qu’on appelle une suite auxilaire. On introduit la suite vn définie par

v_n = u_n - l 

Exprimons vn en fonction de n. Pour cela, montrons d’abord que c’est une suite géométrique :

\begin{array}{l}
v_{n+1} = u_{n+1}-l \\
v_{n+1} = a \times u_n+b-l \\
v_{n+1} = a \times u_n+b-\dfrac{b}{1-a} \\
v_{n+1} = a \times u_n+\dfrac{b\times(1-a)-b}{1-a} \\
v_{n+1} = a \times u_n+\dfrac{-ab}{1-a} \\
v_{n+1} = a\times \left( u_n-\dfrac{b}{1-a} \right)\\
v_{n+1} = a\times \left( u_n-l \right)\\
v_{n+1} = a\times v_n\\
\end{array}

vn est donc une suite géométrique de raison a.
En utilisant le cours sur les suites géométriques, on obtient donc :

\begin{array}{l}
v_n = a^n v_0\\
v_n = a^n(u_0+l) \\
v_n=a^n\left(u_0+\dfrac{b}{1-a}\right)
\end{array}

Puis en inversant la relation qui relie un et vn :

\begin{array}{l}
u_n = v_n +l\\
u_n = a^n\left(u_0+\dfrac{b}{1-a}\right) + \dfrac{b}{1-a}
\end{array}

Et donc connaissant, u0, on a bien exprimé un en fonction de n.

Exemple

Soit la suite arithmético-géométrique suivante :

\begin{array}{l}
u_0 = 5 \\
\forall n \in \N, \  u_{n+1}=2u_n + 1
\end{array}

Exprimer un en fonction de n.

Résolution : On cherche d’abord un point fixe :

\begin{array}{l}
l=2l +1\\
\Leftrightarrow l = -1
\end{array}

On va donc poser

\forall n \in \N, v_n = u_n + 1

vn est alors une suite géométrique de raison a = 2.

On a donc :

v_n = 2^n v_0=2^n(u_0+1) = 6\times 2^n

Et finalement, on obtient un :

\begin{array}{l}
u_n = v_n-1 \\
u_n= 6\times 2^n -1
\end{array}

Et pour résoudre les suites arithmético-géométriques, c’est toujours cette méthode ! Il faut juste faire attention que ce n’est pas juste une suite arithmétique ou une suite géométrique.

Exercices

Exercice 1 – Issu du bac Liban ES/L 2013
On considère la suite (un) définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1​​ = 0,9un ​​+ 1,2

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn = un-12
    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer vn en fonction de n.
    3. En déduire que pour tout entier naturel n : un = 12-2×0,9n​​.
  2. Déterminer la limite de la suite (vn) et en déduire celle de la suite (un).

Exercice 2
Soit (un) la suite définie par u0 = 4 et un+1 = 0,95 un + 0,5

  1. Exprimer un en fonction de n
  2. En déduire sa limite.

Exercice 3
Un club de sport compte en 2021, 400 membres. Chaque année, 80% des membres renouvellent leur adhésion et on compte 80 nouveaux membres.

  1. Modéliser cette situation par une suite (un).
  2. Déterminer les cinq premiers termes de la suite.
  3. Conjecturer le sens de variation de (un) et sa limite.
  4. Trouver l’expression de un en fonction de n.
  5. En déduire la limite de la suite (un). Quelle interprétation peut-on en faire ?

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