Développement décimal périodique : Définition, propriétés et exemples

Le développement décimal périodique est un concept mathématique qui concerne la représentation des nombres rationnels en notation décimale. Dans cet article, nous allons explorer la définition du développement décimal périodique, discuter de ses propriétés et fournir des exemples pour mieux comprendre ce phénomène mathématique fascinant.

Définition du développement décimal périodique

Le développement décimal périodique est une méthode utilisée pour exprimer les nombres rationnels (c’est-à-dire les nombres qui peuvent être représentés par une fraction) en notation décimale. Un nombre est considéré comme un développement décimal périodique s’il possède une séquence de chiffres qui se répète indéfiniment.

Plus précisément, si la partie décimale d’un nombre rationnel se répète périodiquement après une certaine position, on dit que ce nombre a un développement décimal périodique. La période est la séquence de chiffres qui se répète continuellement. Par exemple, le rationnel \dfrac{31}{70} se décompose via la division euclidienne.

Si on continue la division on s’apercevra qu’il s’écrit 0.44428571428571428571… Sa période est alors 428571. On peut alors le noter 0.4\overline{428571} et c’est cette notation qu’on utilisera pour la période : \overline{a_1 \ldots a_n} est la période de ce développement.

Propriété principale

Voici la propriété la plus importante du développement décimal périodique : Un réel admet un développement décimal périodique (à partir d’un certain rang) si et seulement si il est rationnel. En voici la démonstration :

Démonstration

Soit x un réel rationnel. Celui-ci peut s’écrire de manière unique sous la forme x = \dfrac{p}{q} avec p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^*, PGCD(p,q) =1 . On effectue, en la posant, la division euclidienne de p par q. Ensuite, on regarde les restes obtenus. Le seul facteur influençant le reste suivant est le reste précédant et le diviseur.

Donc si on tombe sur un reste connu, on connait les restes suivants. De plus, on a q restes possibles (le reste est compris entre 0 et q-1). Donc, si on fait q+1 étapes dans la division euclidienne, d’après le principe des tiroirs, on va forcément tomber sur un reste connu. Ainsi, on aura un développement décimal périodique

Dans l’autre sens, si un réel x admet un développement décimal périodique, celui-ci peut être noté x = a + \overline{a_1\ldots a_n} avec a un nombre décimal. Alors, celui-ci peut s’écrire :

x = a + \sum_{k=0}^{+\infty}\left( \sum_{i=1}^na _i10^{-i} \right)10^{-nk}

Si on note p =\displaystyle \sum_{i=1}^na _i10^{-i} avec 10^n p \in \N , on a

\begin{array}{rl} 
x& = \displaystyle a + \sum_{k=0}^{+\infty}\left( \sum_{i=1}^na _i10^{-i} \right)10^{-nk}\\
x& = \displaystyle a + \sum_{k=0}^{+\infty}p 10^{-nk}\\
x& = \displaystyle a +p \sum_{k=0}^{+\infty} 10^{-nk}\\
x& = \displaystyle a +p \sum_{k=0}^{+\infty} \left(10^{-n}\right)^k\\
x& = \displaystyle a +p \dfrac{1}{1-10^{-n}}\\
x& = \displaystyle a + \dfrac{10^np}{10^n(1-10^{-n})}\\
x& = \displaystyle a + \dfrac{10^np}{10^n-1} \in \mathbb{Q}\\
\end{array}

On a donc bien obtenu un rationnel ce qui clôture notre démonstration.

Exemples

Voici quelques exemples pour illustrer le développement décimal périodique :

1. 1/3 = 0.333… La période est “3”, donc on peut écrire 1/3 comme 0.\overline{3}
2. 2/7 = 0.285714285714… La période est “285714”, donc on peut écrire 2/7 comme 0.\overline{285714}
3. 5/8 = 0.625 : la partie décimale est finie sans période
4. 4/9 = 0.444… la période est “4”, donc on peut écrire 4/9 comme 0.\overline{4}