La division euclidienne : Cours et exercices corrigés 

Voici un cours avec des exercices corrigés sur la division euclidienne
Poser une division

Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de division euclidienne, essentielle en arithmétique, et qui va servir par la suite à faire de nombreux calculs. 

Définition de la division euclidienne 

Dans les entiers naturels

Soit deux entiers a \geq 0 et b \geq 0 . Il existe deux entiers naturels q et r tels que : 

  • a = b\times q + r 
  • 0 \leq r < b

Une caractérisation est de dire qu’il existe un unique entier q tel que 0 \leq a-bq \leq b que l’on peut aussi écrire sous la forme bq \leq a < b(q+1) 

Un peu de vocabulaire : 

  • a s’appelle le dividende
  • b s’appelle le diviseur
  • q s’appelle le quotient
  • r s’appelle le reste

On peut donc écrire l’équation suivante pour s’en rappeler : dividende = diviseur x quotient + reste

Dans les entiers relatifs

Soient a et b deux entiers relatifs. Il existe un entier relatif q et un entier naturel r tels que : 

  • a = b\times q + r 
  • 0 \leq r < |b|

On utilise donc dans ce cas là, la valeur absolue pour encadrer le reste r. 

Dans les polynômes

Pour généraliser encore plus la notion : on va prendre un corps commutatif \mathbb{K} et A et B deux polynômes de ce corps. Alors la division euclidienne sur les polynômes s’écrit par l’unicité et l’existence de Q et R tels que : 

  • A = BQ +R
  • deg(R) < deg(B)  

Exemples corrigés

  • La division euclidienne de 19 par 5 s’écrit 19 = 5 \times 3 + 4  
  • La division euclidienne de -19 par 5 s’écrit -19 = 5 \times (-4) + 1
  • La division euclidienne de 30 par 6 s’écrit 30 = 6 \times 5 + 0

Pour comprendre comment effectuer une division euclidienne, je vous invite à aller voir notre article sur comment poser une division.

Si vous souhaitez gagner du temps, je vous invite à lire notre article sur la divisibilité

Exercices corrigés 

Exercice 1

Énoncé : Une tarte pour 4 personnes coûte 7 €. Une cuisinière dans un restaurant dispose de 85 €. Combien peut-elle acheter de tartes ? Combien lui reste-t-il d’argent ?

Corrigé : On fait la division euclidienne de 85 par 7. On obtient : 85 = 7 \times 12 +1

La cuisinière peut donc acheter 12 tartes et il lui restera 1€. 

Exercice 2

Énoncé : Pour une colonie de vacances, il faut un encadrant pour 11 enfants. Sachant qu’on a 70 enfants, combien faut-il d’encadrants ? 

Corrigé : On fait la division euclidienne de 70 par 11 et on obtient : 70 = 11 \times 6 + 4 . On va arrondir à l’entier supérieur pour ne pas que les 4 enfants restants se retrouvent sans encadrant. Il faut donc 7 encadrants. 

Exercices

Exercice 1

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : 

  • 728 divisé par 32
  • 4027 divisé par 45
  • 3573 divisé par 12
  • 983 divisé par 16

Exercice 2

Un pêcheur vend des huîtres par douzaine. Il possède 539 huîtres. Combien va-t-il lui en rester à la fin une fois qu’il a vendu toutes les douzaines qu’il pouvait ? 

Exercice 3

Trouver le nombre : 

Quand j’effectue la division euclidienne de 2524 par ce nombre, le quotient est 64 et le reste est 28

Exercice 4

On cherche à ranger des livres dans des casiers. Chaque casier peut contenir 25 livres. On dispose de 365 livres. Combien de casiers sont nécessaires ? 

Exercice 5

Quel est le seul nombre compris entre 1 et 100 multiple de 4, 5 et 6 ? 

D’autres exercices sont disponibles sur notre article sur poser une division.

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