Loi uniforme continue : Cours et exercices corrigés

La loi uniforme continue est une des lois de probabilité continue parmi les plus simples. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• La loi uniforme discrète

Définition

La loi uniforme est une loi de probabilité définie sur un segment [a;b]. Elle est notée \mathcal{U}(a,b). On appelle parfois cette loi loi rectangulaire.

Lorsque a = 0 et b = 1, on parle de loi uniforme standard.

Dans cet article, nous allons nous limiter au cas standard d’un segment, mais on pourrait adapter le raisonnement à un ensemble de mesure de Lebesgue finie.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi uniforme continue est

f_X(t)= \dfrac{1}{b-a}

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi uniforme continue est la suivante :

F_X(x) = \left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & x < a\\
\dfrac{x-a}{b-a} & x \in [a,b]\\
1 & x > b
\end{array}
\right.

Propriétés

Si X suit une loi uniforme \mathcal{U}(0,1) alors Y = a +(b-a)X suit une loi uniforme \mathcal{U}(a,b)

Espérance de la loi uniforme continue

L’espérance de la loi uniforme continue sur [a,b] vaut \dfrac{a+b}{2}. En voici la démonstration, par un calcul direct via l’intégrale. Soit X suivant une loi uniforme continue sur [a,b] . On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) & =\displaystyle \int_{a}^{b} xf_X(x) dx\\
& =\displaystyle \int_{a}^{b} \dfrac{x}{b-a} dx\\
& =\displaystyle   \dfrac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b \\
&= \displaystyle   \dfrac{1}{b-a}\frac{b^2-a^2}{2}\\
& = \dfrac{a+b}{2}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

Variance de la loi uniforme continue

La variance de la loi uniforme continue vaut \dfrac{(b-a)^2}{12}. Là aussi, on va faire un calcul direct. Soit X suivant une loi uniforme continue sur [a,b] . On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) & = \displaystyle \int_{a}^{b} x^2f_X(x) dx\\
 & =\displaystyle \int_{a}^{b} \dfrac{x^2}{b-a} dx\\
 & =\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{a}^{b}\\
 & =\dfrac{1}{b-a} \dfrac{b^3-a^3}{3}\\
 & = \dfrac{a^2+ab+b^2}{3}\\
\end{array}

Pour ce faire, on a utilisé l’identité remarquable a^n - b^n

On a donc finalement :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
& =\dfrac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \\
&= \dfrac{a^2+ab+b^2}{3} - \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\
&= \dfrac{4a^2+4ab+4b^2-3a^2-6ab-3b^2}{12} \\
&= \dfrac{a^2-2ab+b^2}{12} \\
&= \dfrac{(a-b)^2}{12} 
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Exercices corrigés de loi uniforme continue

Exercice 1

Enoncé :

On tire selon la loi uniforme continue un nombre entre -2 et 4.
Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation x^2−4 \leq 0 ?

Corrigé :
On va d’abord résoudre l’inéquation x^2−4 \leq 0. Elle se réécrit sous la forme (x-2)(x+2) \leq 0. La théorie des trinômes du second degré nous indique que lorsque le coefficient dominant est positif, alors le trinôme est négatif entre ses racines. On a donc :

(x-2)(x+2) \leq 0 \iff x \in [-2;2]

Ensuite, revenons à notre loi uniforme :

\mathbb{P}(x^2−4 \leq 0  ) = \mathbb{P}(X\in [-2;2]) = \dfrac{2-(-2)}{4-(-2)} = \dfrac{2}{3}

Ce qui est donc le résultat de notre exercice.

Exercice 2

Enoncé :
La masse en gramme des courgettes d’un maraîcher est modélisée par une variable aléatoire C  qui suit une loi uniforme sur l’intervalle  [1500;x] avec  x>2200. On constate que 75% des courgettes du maraîcher ont une masse comprise entre 1600g et 2200 g. Déterminer x.

Corrigé :
On sait que

\mathbb{P}( X\in [1600;2200] )= 0,75

Or comme x – 1500 est la longueur totale de l’intervalle,

\mathbb{P}( X\in [1600;2200] )= \dfrac{600}{x - 1500}

On va donc résoudre :

\begin{array}{ll}
&0,75 = \dfrac{600}{x - 1500} \\
\iff & \dfrac{3}{4}  = \dfrac{600}{x - 1500}\\
\iff & 3 (x-1500)  = 4 \times 600\\
\iff & 3x - 4500  = 2400\\
\iff & 3x  = 6500\\
\iff & x  = 2300\\
\end{array}

Ainsi, x = 2300.

Exercice 3

Enoncé :
Jean et Amine ont rendez-vous à la gare entre 14 h et 15 h.
Ils arrivent indépendamment et au hasard entre 14h et 15h.
Quelle est la probabilité que tous les deux arrivent entre 14 h 25 et 14 h 35 ?

Corrigé :
La probabilité que Jean arrive entre 14h25 et 14h35 est, notons Xla minute d’arrivée, X suit une loi uniforme \mathcal{U}(1,60) : \mathbb{P} (25 \leq X \leq 35) = \dfrac{35-25}{60} = \dfrac{1}{6}.
De même pour Amine, la probabilité est de \dfrac{1}{6} .

Donc, comme l’heure d’arrivée de Jean et Amine est indépendante, la probabilité recherchée est \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}.

Enoncés d’exercices de loi uniforme continue

Exercice 1 – Bac ES, Centres étrangers, juin 2019

Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes, avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [1;10].

1. Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins 5 minutes avant
   d’être reçu par un conseiller commercial ?
2. Calculer la durée moyenne d’attente d’un conseiller commercial dans cette concession.

Exercice 2

On choisit au hasard un réel dans l’intervalle [-1,4]. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation 9x^2-33x+10 \geq 0

Exercice 3

On choisit un nombre au hasard entre -4 et 4.
Sachant que ce nombre est supérieur à 3,4, quelle est la probabilité que sa deuxième décimale soit 3 ?

Exercice 4

On tire selon la loi uniforme continue un nombre entre -2 et 4.
Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation x^2−5x+6 \leq 0 ?

Exercice 5

Dupond et Dupont ont rendez-vous à la gare entre 18 h et 19 h.
Chacun attendra un quart d’heure, pas plus puis partira et en aucun cas après 19 h.
Ils arrivent indépendamment et aléatoirement entre 18 h et 19 h.
Quelle est la probabilité qu’ils se retrouvent?

Exercice 6

On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [-2;6].
Quelle est la probabilité qu’il soit inférieure à 3 sachant qu’il est supérieur à 0 ?

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a,b], avec 0<a<b.
Donner la fonction de répartition, la densité, l’espérance et la variance de Y=X^2.