“Les maths servent à rien…”
“Dans mon futur travail, je n’utiliserais pas ces maths…”
“Les maths ne nourrissent pas…”
“Pas besoin d’autant de maths pour vivre au quotidien…”
Ah, ces petites phrases que presque chacun d’entre nous a entendu ou prononcé au moins une fois ! Fruit de notre ennui, frustration et incompréhension de nos cours de mathématiques, ces préjugés sur l’utilité des maths vont sans doute trop vite en besogne. Il est vrai qu’il n’y a que ceux qui n’en voient pas l’utilité et qui ne les aiment pas beaucoup qui les disent (et nous sommes malheureusement trop nombreux dans ce cas).
Pourtant, sur PEM (Progresser-en-maths.com), parce que nous croyons à leur utilité et voyons leur présence manifeste au quotidien, nous souhaitons populariser l’idée que les maths sont plus importantes et plus intéressantes qu’on ne le croit, via notre série Maths Facts.
Cher lecteur, si vous êtes ici aujourd’hui, c’est pour savoir comment devenir riche (avec des maths niveau lycée), et nous vous faisons la promesse d’y répondre.
Assez simplement, nous allons parler d’épargne qui est un acte de la vie courante, de suites géométriques, aspect mathématiques abordé généralement au lycée, afin de réconcilier la divergence sous-entendue entre les deux depuis notre enfance.
Être riche : Définition
Quand devient-on riche ? Le niveau de richesse d’un individu est défini à travers une norme sociale qui évolue dans le temps. Economiquement, la richesse d’un individu est représentée par le nombre de biens et de services que celui-ci a en sa possession et peut s’offrir avec ses “liquidités” (son argent le plus souvent). Du point de vue macroéconomique, c’est exactement ce qu’on appelle le PIB/habitant (Produit intérieur brut = le total de la richesse produite en une année dans un pays).
Un individu riche au sens commun est un individu qui dispose d’une richesse largement supérieure à la moyenne de son groupe d’appartenance. C’est donc très relatif ! En France, dans nos idéaux, un riche c’est un millionnaire au moins, qui gagne 100 000€ par an et plus. Mais dans d’autres pays beaucoup moins développés au sens économique occidental (*ndlr : la notion de développement est ambigüe, il convient de la préciser ainsi), quelqu’un qui disposerait d’un SMIC français pourrait être considéré comme très riche car son pouvoir d’achats de biens et de services est très supérieur à la population moyenne.
Au sens de l’INSEE, en France en 2020, on est riche à 630 000 € de patrimoine. Ce qui correspond à un 50m2 dans les plus beaux arrondissements parisiens et un joli château hors Île-de-France. C’est plutôt pas mal en effet. Mais pour obtenir un tel patrimoine, il ne faut pas tout dépenser chaque mois en “consommable”, le patrimoine c’est durable et pour se l’acheter il faut un “capital” (et le plus souvent, de l’argent… sur le compte en banque).
Donc vous vous demandez maintenant comment acquérir un tel patrimoine et tant d’argent ? La recette est simple épargner et “placer” son argent.
Nous retiendrons pour la suite du raisonnement que l’on est! riche à compter d’un million d’euros.
Epargner : le premier pas vers la richesse, chaque centime compte
Chaque centime compte. Dans le livre “Les 7 secrets de Warren Buffett pour devenir riche” (Mary Buffett & Sean Seah) on raconte l’anecdote suivante : Warren Buffett – un milliardaire américain pesant 85,6 milliards $ en 2020 selon Forbes – se trouvait dans un ascenseur plein à craquer, dans lequel se trouvait au sol un penny (un cent en dollar américain). Personne ne le prit bien que tout le monde l’ait remarqué, en raison de la présence de Warrenn Buffett, qui se pencha alors pour le ramasser puis dit “Un penny ! Le début de mon prochain milliard“.
Arbitrage “dépenses-épargne”. Si vous êtes étudiant avec aucune épargne et très peu d’aide de vos parents comme je l’ai été et en même temps adepte aux cafés Starbucks ou aux pizzas* du coin (*remplacez par n’importe laquelle de votre/vos petite(s) addiction(s)), alors vous savez de quoi je veux parler. Imaginons que vous ne pouvez vous passer de café et ou de cigarettes (encore pire addiction), vous consommez pour 5€ de café et 1/2 paquet de cigarette par jour, soit 10€ par jour pour ces deux éléments. Cela fait un budget hebdo de 10*7 = 70 euros et mensuel de 10*30 = 300€ par mois (soit plus qu’un loyer moyen étudiant aides comprises).
Maintenant, projetons ces dépenses à un an, puis deux, puis 5, puis 10, puis 30. (ndlr : une année = 365 jours)
| Année | Argent dépensé |
|---|---|
| 1 | 3 650€ (une petite voiture d’occasion ou un ordinateur de gaming) |
| 2 | 7 300€ (une grosse voiture d’occasion) |
| 5 | 18 250€ (une voiture neuve) |
| 10 | 36 500€ (une place de parking en Île-de-France) |
| 20 | 73 000€ (une Porsche) |
| 30 | 109 500€ (une maison à la compagne) |
Au bout de 30 années, si vous sacrifiez votre petite addiction en la supprimant ou en la substituant (machine à café pour réduire son coût, faire de la course à pieds pour se détendre au lieu de fumer…) vous pourriez épargner jusqu’à 109 500€ soit l’équivalent d’une jolie maison avec jardin à la compagne (moyennant 300€ par mois environ).
Fumer un paquet de cigarettes tous les deux jours pendant
20 ans … Ou s’acheter une voiture haut de gamme neuve au bout de 20 ans ?
Bon, on est loin du million promis plus haut et… où sont passés les maths dont nous avons parlé ? J’y viens.
Comme expliqué plus haut, il faut épargner pour devenir riche, soit, comme disait Adam Smith (un intellectuel et industriel du 17ème dont s’inspire les économistes modernes) “renoncer à la consommation immédiate”.
La seconde étape pour obtenir rapidement un million, est “d’investir“. En bref, il faut que l’argent épargné “fasse des petits”. Nous ne traiterons pas dans cet article des méthodes d’investissement mais simplement le concept et le rapport mathématique.
Quand on parle de l’argent qui fait des petits, on parle d’argent placé à un certain “taux d’intérêt“, c’est le taux de rémunération du capital placé (argent épargné). Il s’agît tout simplement de l’argent rapporté sur l’argent placé.
Exemple : les livrets d’épargne des banques (Livret A, Livret Jeune, PEL, PEA…) sont des comptes sur lesquels lorsque l’on dépose de l’argent, par exemple 1000€, garantissent un taux de rémunération comme 1,5%. Cela signifie que vous gagnez 15€ en un an avec ce type de compte. Mais il existe d’autres façons d’investir : en bourse, en créant une entreprise, en prêtant (principe des banques)… Toutes les méthodes d’investissement évoquées impliquent des risques différents et par conséquents, des taux de rémunérations différents.
La force de ce “taux d’intérêt” est que souvent il se “compose“. On parle alors d’intérêts composés. Cela signifie que l’argent gagné grâce au temps d’intérêts, de période en période, va lui-même générer des intérêts. Ce qui a un caractère exponentiel et là, nous entrons dans les notions des maths de lycée (si vous voulez creuser sur exp, c’est par là).
Prenons le cas des livrets d’épargne qui sont dits sans risque et donc à faible taux, actuellement en 2020, 1,5%. Reprenons notre exemple de tout à l’heure.
Calcul-exemple : en un an on épargne 3650€ placé à 1,5%. On obtient :
3650*(1+0,015) = 3 704,75
(Ndlr : on note (1+0,015) car à la fin de l’année nous obtenons 1 fois 3650 + une part de 3650 à 1,5% = 0,015)
En année 2, les intérêts se composent, la somme épargnée est placée à son tour à 1,5%, à laquelle on ajoute les nouveaux 3 650€ épargnés.
3650*(1+0,015)+3 704,75*(1+0,015)= 7 465,07, soit déjà 165,07€ de plus que dans le premier cas.
Remarquons que cette expression 3650*(1+0,015)+3 704,75*(1+0,015)= 7 465,07 peut se réécrire ainsi :
3650*(1+0,015)+3650*(1+0,015)*(1+0,015)= 7 465,07
Soit :
3650*(1+0,015)+3650*(1+0,015)2= 7 465,07
En année 3, le calcul est :
3650*(1+0,015)+3650*(1+0,015)2+3650*(1+0,015)3= 11 281,80
| Année | Argent dépensé | Argent placé à 1,5% |
|---|---|---|
| 1 | 3 650€ (une petite voiture d’occasion ou un bon ordinateur de gaming) | 3 704,75€ |
| 2 | 7 300€ (une grosse voiture d’occasion) | 7 465,07€ |
| 5 | 18 250€ (une voiture neuve) | 19 087,86€ |
| 10 | 36 500€ (une place de parking en Île-de-France) | 39 650,91€ |
| 20 | 73 000€ (une Porsche) | 85 667,41€ |
| 30 | 109 500€ (une maison à la compagne) | 139 071,43€ |
Généralisons. Ceci utilise une suite géométrique de la forme :
un = u0 * qn
Avec :
un : le montant épargné et placé final
u0 : le montant épargné et placé initial
q : le taux d’intérêt + 1
n : le nombre de période où l’on place l’argent (généralement en année)
La forme complète associe la suite géométrique à une série de la forme :
Nous allons jouer sur les paramètres (somme de départ, taux et années) pour savoir comment obtenir vite 1 million d’euros, en calculant directement avec la formule (à l’aide d’un classeur de type Google Sheet).
Vous trouverez ci-dessous les divers scénarii calculés.
| Somme mensuelle placée de départ | Taux | Années nécessaires pour avoir 1 million |
|---|---|---|
| 300€/mois | 0% (compte courant) | 274 ans |
| 300€/mois | 1,5% (livret d’épargne sans risque) | 109 ans |
| 1000€/mois | 1,5% (livret d’épargne sans risque) | 54 ans |
| 300€/mois | 5% (assurance-vie) | 55 ans |
| 1000€/mois | 5% (assurance-vie) | 33 ans |
| 100€/mois | 10% (actions – risqué) | 46 ans |
| 300€/mois | 10% (actions – risqué) | 35 ans |
| 1000€/mois | 10% (actions – risqué) | 23 ans |
Si l’on veut comparer dans un graphique ces différents montants placés à divers taux, cela donne cela, on retrouve bien le caractère exponentielle sur la courbe verte évoqué plus haut :
Pour plus d’informations, écrivez-nous en commentaire ou contactez-nous !
Calculs et graphique effectués par l’auteur avec Google Sheet.
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Vous remarquerez que le premier cas, étudié au tout début, sans taux, correspond tout simplement à une série de suite arithmétique basique :
3650+3650= 7 300
Soit :
3650*2= 7 300
En année 3, le calcul est :
3650*3= 10 950
De manière générale :
un = u0 * n
Bien sûr, tout cela est théorique. Chercher de manière systématique un taux de 10% ou même de 5% d’intérêt n’est pas chose facile, c’est risqué. Pour autant, c’est une méthode qui aura un bien meilleur taux de réussite que simplement jouer au loto et espérer de tirer le numéro gagnant.
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