Définition

Une suite géométrique est définie par 2 éléments, son premier terme u0 et sa raison q. Elle vérifie la relation suivante :

u_{n+1} = q\times u_n 

Propriétés

Ecriture générale

On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n :

u_{n} = u_0\times q^n

Ou de manière plus générale, en fonction d’un terme quelconque :

\forall n,p \in\N, u_n = u_p \times q^{n-p}

Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l’une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite géométrique.

A noter : La suite (un+1/un) est une suite constante égale à la raison q.

Additivité et multiplicativité

Le produit de suites géométriques est une suite géométrique.
En effet, deux suites géométriques u et v sont définies par

\begin{array}{l}u_0 = a \ et \ raison = q_1\\
v_{0 }= b \ et\ raison = q_2\end{array}

Alors montrons que la somme est bien une suite géométrique :

\begin{array}{l}u_n = a \times q_1^n\\ \\
v_n = b \times q_2^n\\ \\
Alors,\\ \\
u_n \times v_n = a \times b \times \left(q_1\times q_2\right)^n\end{array}

Ce qui signifie que la suite (un x vn) est une suite géométrique de premier terme a x b et de raison r1 x r2.

Une suite géométrique multipliée par une constante c reste une suite géométrique.
Soit (un) une suite géométrique de premier terme a et de raison q. Soit c une constante.
La suite s’écrit en fonction de n comme :

u_n = a \times q^n

Si on multiplie tout par c,

cu_n = c\times a q^n = ca\times q^n

La suite (cun) est donc géométrique de premier terme ca et de raison q.

Attention : La somme de 2 suites géométriques n’est pas une suite géométrique.
Soit (un) la suite définie par un = 2n, (un) est bien une suite géométrique.
Soit (vn) la suite définie par un = 4n, (vn) est bien une suite géométrique.
On appelle (wn) la suite issue du produit entre (un) et (vn).
On a les résultats suivants :

\begin{array}{l}
w_0=u_0+v_0 = 1+1=2 \\
w_1= u_1+v_1 = 2+4=6\\
w_2=u_2+v_2 = 4 + 16 = 20
\end{array}

Calculons alors le rapport entre les termes successifs :

\begin{array}{l}
\frac{w_1}{w_0}=\frac{6}{2} = 3\\ \\
\frac{w_2}{w_1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}
\end{array}

Donc la suite (wn+1/wn) n’est pas une suite égale à la raison. Donc cela ne peut pas être une suite arithmétique.

Somme des termes d’une suite arithmétique

Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d’une suite arithmétique

\begin{array}{l}
Si\ q\neq 1,\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+  \ldots+u_n =u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \\ \\
Si\ q= 1, \sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+  \ldots+u_n = (n+1)u_0
\end{array}

Et voici une formule plus générale :

\begin{array}{l}
Si\ q\neq 1,p\leq n,\sum_{k=p}^n u_k=u_p+  \ldots+u_n\\
 = u_p\frac{q^{n-p+1}-1}{q-1}  = premier  \ terme \times\frac{q^{nombre\ de\ termes}-1}{q-1}\\ \\
Si\ q= 1, p \leq n,\sum_{k=p}^n u_k=u_p+  \ldots+u_n\\
 = (n-p+1)q =nombre \ de \ termes \times u_0
\end{array}

n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 3 à 10 il y a bien 10 – 3 + 1 = 8 termes. Si on détaille, les 9 termes sont 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Exemple

Soit la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3.
Cette suite peut donc s’écrire un = 3×2n
La somme de ses termes de 0 à n vaut

3 \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 3\times(2^{n+1}-1)

Exercices

Exercice 1
1. Soit u0 = 4 et q = 3. Déterminer u5
2. Soit u2 = 2 et q = 2. Déterminer u8
3. Soit u5 = 8 et q = -3. Déterminer u3
4. Soit u100 = 100200 et r = 10. Déterminer u0

Exercice 2
Soit la suite (un) définie par un = 5 x 2n
1. Calculer les 4 premiers termes
2. Démontrer que (un) est une suite géométrique. Donner sa raison
3. Quelle est la valeur du 15-ème terme ?
4. Calculer la somme des 15 premiers termes.

Exercice 3
Démontrer qu’une suite vérifiant la relation un = un-1 x un+1 est une suite géométrique.

Exercice 4
Jean-Claude a acheté sa voiture 32000 euros. Chaque année, elle perd 17 % de sa valeur.
Pour tout entier naturel n, on un la valeur en euros de la voiture après n années de baisse.

1. Calculer u1
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
3. Exprimer un en fonction de n.
4. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 5000 euros ? On pourra utiliser les connaissances sur le logarithme ainsi que la calculatrice
5. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 1 euro ?

Exercice 5
Un employeur A vous propose un salaire de 3000€/mois et une augmentation de 150€ par an.
Un employeur B vous propose un salaire de 2700€/mois et une augmentation de 7% par an.
1) Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 3 ans dans la société?
2) Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 10 ans dans la société?
3) A l’aide d’une calculatrice, déterminer le nombre d’années au bout duquel la rémunération de l’employeur B est plus intéressante.

Retrouvez nos derniers articles pour aider à préparer le bac

One thought on “ Bac de maths : Les suites géométriques ”

Laisser un commentaire