La fonction exponentielle : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur l’exponentielle : Définitions, propriétés, divers exemples et quelques exercices pour bien comprendre la notion.

parValentin Strach

3 mars 2022

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Table des matières

Définition

Par une équation différentielle (niveau Terminale)

On définit l’exponentielle, notée exp, comme l’unique fonction dérivable telle que :

\begin{array}{l} \forall x \in \mathbb R , f'(x) = f(x) \\ f(0) = 1 \end{array}

Par sa réciproque

Cliquez ici pour voir le cours sur le logarithme népérien

\begin{array}{l} \text{La fonction exponentielle, de } \mathbb R_+ \text{ dans } \mathbb R \\\text{est définie comme la fonction réciproque} \\ \text{du logarithme népérien}\end{array}

Par une somme (niveau prépa)

La fonction exponentielle est définie par :

\forall x \in \mathbb R, \exp(x) = \sum_{n=0} ^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}

Graphe de l’exponentielle

Voici le graphe de l’exponentielle

Propriétés

La fonction exponentielle est une fonction croissante
Elle est dérivable sur R et égale à sa dérivée, elle est même infiniment dérivable.

\forall x \in \mathbb R, f'(x) = f(x)

C’est une fonction positive :

\forall x \in \mathbb R, f(x) > 0

exp(1) est noté e. Voici une approximation de sa valeur. C’est une des calculatrices en ligne que j’ai utilisées ici pour avoir une bonne approximation de sa valeur.

e \approx 2.71828182846

Limites

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\ \infty}e^{x\ }=\ +\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x\ =\ 0\end{array}

L’exponentielle l’emporte sur la plupart des fonction, voici diverses limites à retenir :

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x}{x}\ =\ +\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x}{x^n}=\ +\ \infty\\ \\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ xe^x\ =\ 0 \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x\ =\ 0 \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to0}\ \frac{e^x-1}{x}=\ 1\end{array}

Propriétés de calcul

\begin{array}{l}e^{x+y}=e^xe^{\text{y}}\\ e^{nx}=\left(e^x\right)^n\\ \dfrac{1}{e^x}=e^{-x}\\ e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^y} \end{array}

On a aussi la réciprocité avec le logarithme :

\begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}_+^* , \exp \left(\ln \left(x\right)\right)= x\\ \forall x\in \mathbb{R}, \ln \left(\exp \left(x\right)\right) = x\end{array}

Calculatrice

Voici une calculatrice vous permettant de calculer les valeurs de l’exponentielle pour vérifier les résultats de vos calculs :

Exercices corrigés

Exercice 1

Etudions la fonction suivante :

x \mapsto x e^{x}

Cette fonction est bien dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables. On va la dériver comme un produit

\begin{array}{l}u\left(x\right)\ =\ x\\ v\left(x\right) = e^x\end{array}\begin{array}{l}u^{\prime}\left(x\right) = 1\\ v^{\prime}\left(x\right) = e^x \end{array}\\ f^{\prime}\left(x\right)= 1e^{x}+xe^{x\ }=\left(x+1\right)e^x\\

Etudions aussi le signe de sa dérivée :

\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x\right) = 0\Leftrightarrow \left(x+1\right)e^x = 0\Leftrightarrow x =-1 \\ f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow \left(x+1\right) e^{x}>0 \Leftrightarrow \left(x+1\right)>0 \Leftrightarrow x > -1\end{array}

f est donc décroissante sur ] – ∞, -1[ et croissante sur ]-1, + ∞[

Etudions ses limites :

\begin{array}{l}\displaystyle\lim _{x\to +\infty } xe^{x\ }=+\infty \times +\infty =+\infty \\ \text{En }-\infty ,\text{on utilise la propriété des limites vue au-dessus :} \\ \displaystyle \lim _{x\to -\infty }xe^x\ =\ 0\end{array}

Finalement, voici à quoi elle ressemble :

Exercice 2

Simplifier la fraction suivante :

\dfrac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}

On va utiliser diverses propriétés de l’exponentielle et des fractions :

\begin{array}{ll}\dfrac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}\\ = \dfrac{e^{2x}\times e^{2x}+e^{2x}}{e^{2x}\times e^x+e^x} &\text{On décompose}\\ = \dfrac{e^{2x}\left(e^{2x}+1\right)}{e^x\left(e^{2x}+1\right)}&\text{On factorise}\\ = \dfrac{e^{2x}}{e^x}& \text{On simplifie}\\ = \dfrac{e^x\times e^x}{e^x}\\ =e^x\end{array}

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante :

e^x\ =\ \frac{-4}{e^x+4}

Plusieurs étapes de résolution. D’abord simplifions la fraction :

\begin{array}{ll}&e^x\ = \dfrac{-4}{e^x-4}\\ \iff &e^x\left(e^x-4\right) = -4\\ \iff&\left(e^x\right)^2-4e^x =-4\\ \iff &\left(e^x\right)^2-4e^x +4 = 0\end{array}

On va ensuite poser y = e^x. Ce qui fait que maintenant l’équation du second degré suivante (si vous avez un trou de mémoire sur l’équation du second degré, regardez cet article) :

\begin{array}{l}y^{2}-4y + 4\ = 0\end{array}

Ensuite, on résoud cette équation en reconnaissant une identité remarquable :

\begin{array}{l}y^2-4y+4 = 0 \\ \Leftrightarrow \left(y-2\right)^{2}=0\\ \Leftrightarrow y=2 \end{array}

On obtient donc que e^x = 2. On en déduit alors que x = ln(2)

Exercices

Exercice 1 :
Commençons par des calculs de limites. Calculer les limites suivantes :

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x-8}{e^{2x}-x}\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{0.00001}e^x\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{1000000}e^x\\ \displaystyle\lim_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x^2-3x+12}\end{array}

Exercice 2 :
En justifiant, associer à chaque fonction sa courbe.
Voici la liste des fonctions :

\begin{array}{l}\displaystyle f\left(x\right) = \frac{e^x-1}{2}\\ \displaystyle g\left(x\right) = \frac{e^x-1}{e^x+1}\\ \displaystyle h\left(x\right) = 1-e^{-x}\\ \displaystyle i\left(x\right) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \displaystyle j\left(x\right) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{array}

Et voici maintenant les courbes :

Exercice 3 :

\begin{array}{l}\text{On considère la suite définie par }u_n = e^{4-\frac{n}{3}}\\ \text{Pour tout entier naturel n, on pose } S_n= u_0 + u_1+ ... + u_n\\ \text{On pose aussi }P_{n }= u_0\times u_1\times... \times u_n\\ 1)\text{Démontrer que la suite }\left(u_n\right)\text{ est géométrique et donner sa raison} \\ 2)\text{ Exprimer la somme }S_n\text{ en fonction de n}\\ 3)\text{ Déterminer la limite de } S_{n }\text{ lorsque n tend vers}+\infty\\ 4)\text{ Exprimer le produit }P_n \text{ en fonction de n} \\ 5)\text{ Déterminer la limite de }P_n\text{ lorsque n tend vers}+\ \infty\end{array}

Exercice 4
Résoudre les inéquation suivantes :

\begin{array}{l}1)\displaystyle\frac{e^x+3}{e^x+1}\ge 2\\ 2)\displaystyle 8e^{2x}<5 e^{x }+3\\ 3)\displaystyle e^{4x+3\ }< e^{2x +7}\\ 4)\displaystyle \frac{3e^x-5}{e^x-12}<\frac{3}{2}\end{array}

Exercice 5 :
On donne la courbe de cette fonction :

Polynome exponentiel — Fonction inconnue à déterminer

On sait que f(0) = -4, f(1) = 0 et f'(0) = -1.
1) Déterminer a, b et c tels que f(x) = (ax²+bx+c)e^x
2) Tracer la tableau de variation de la fonction ainsi obtenue