Un théorème est une proposition qui est considérée comme vraie en raison de la force de ses arguments. Nous allons voir dans cet article ce qu’est un théorème.
Définition d’un théorème
Les théorèmes sont utilisés dans divers domaines, notamment les mathématiques, la physique et la philosophie. Le mot théorème est dérivé du mot grec théorein, qui signifie «regarder» ou «contempler».
En mathématiques, un théorème est une assertion qui peut être démontrée à partir de certaines hypothèses. La démonstration d’un théorème mathématique est une chaîne d’arguments logiques qui conduisent inexorablement à la conclusion du théorème.
En physique, un théorème est une loi qui décrit un phénomène physique de manière précise. Les théorèmes de la physique sont généralement énoncés sous forme de lois mathématiques. La loi de la gravitation universelle, par exemple, est un théorème de la physique.
En philosophie, un théorème est une proposition qui peut être démontrée à partir de certaines hypothèses. La démonstration d’un théorème philosophique est une chaîne d’arguments logiques qui conduisent inexorablement à la conclusion du théorème.
Un des théorèmes parmi les plus connus est le théorème de Pythagore, que tout le monde fait au collège
Comment démontrer un théorème ?
Pour démontrer un théorème, on commence donc généralement par identifier les axiomes et les définitions qui lui sont nécessaires. Ces derniers sont des énoncés qui sont considérés comme vrais sans nécessité de démonstration. Ensuite, on enchaîne les propositions logiquement, en faisant des équivalences mathématiques à chaque étape, pour arriver à la conclusion.
Dans certaines situations, il est nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires pour pouvoir démontrer le théorème. Ces hypothèses sont appelées « lemmes » et doivent être également démontrés.
Il existe différentes techniques pour démontrer un théorème. La méthode la plus courante est l’analyse des cas, qui consiste à examiner tous les cas possibles pour arriver à la conclusion. Cette méthode est souvent utilisée lorsque le théorème à démontrer est simple.
Dans d’autres situations, on utilise une approche indirecte pour démontrer un théorème. Cette méthode consiste à supposer que le théorème est faux et à en déduire une contradiction. Si on arrive à une contradiction, cela signifie que le théorème est en fait vrai. Cela s’appelle la démonstration par l’absurde
La démonstration d’un théorème en mathématiques peut parfois être très longue et complexe. Dans certains cas, il est nécessaire de faire appel à des résultats provenant d’autres domaines de la mathématique pour pouvoir arriver à la conclusion. Certains théorèmes prennent des années voire des décennies pour être démontrés. Certains ne le sont toujours pas. C’est ce qu’on appelle des conjectures.
Des exemples de théorème connu
Il existe de nombreux théorèmes célèbres dans les mathématiques. Voici quelques exemples :
- Le théorème de Pythagore, qui établit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Le théorème de Thalès, qui affirme que les rapports des longueurs de deux segments d’une droite sont les mêmes que les rapports des distances des points de ces segments à une autre droite parallèle à la première.
- Le théorème de Fermat, qui affirme que la somme de deux puissances d’un nombre entier ne peut être une puissance supérieure à la deuxième sauf si le nombre est premier. Par exemple, il est impossible de trouver des entiers x, y et z tels que x^3 + y^3 = z^3. Ce théorème a été formulé par Pierre de Fermat au XVIIème siècle, mais il n’a été démontré qu’au XXème siècle par Andrew Wiles.
Il y a bien d’autres exemples de théorèmes célèbres, mais ceux-ci donnent une idée de la nature et de l’importance des théorèmes dans les mathématiques.
