Ces deux formules sont essentielles pour effectuer certains calculs avec des sinus et des cosinus. Dans cet article, nous allons d’abord les énoncer et les démontrer.
Prérequis
Formules d’addition
Enoncé
Soient a et b deux réels. Les formules d’addition sont :
\begin{array}{lll}
\cos(a+b)& =&\cos(a) \cos(b) - \sin(a)\sin(b)\\
\cos(a-b) &=& \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\\
\sin(a+b) &= &\sin(a) \cos(b)+\sin(b)\cos(a) \\
\sin(a-b) &=& \sin(a) \cos(b)-\sin(b)\cos(a)
\end{array}Démonstration
Passons maintenant à leur démonstration. Nous allons utiliser la forme exponentielle d’un complexe. On a, d’une part
e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i \sin(a+b)D’autre part,
\begin{array}{lll}
e^{i(a+b)} &=& e^{ia}e^{ib}\\
& = &(\cos(a)+i\sin(a) )(\cos(b)+i\sin(b))\\
&= &\cos(a)\cos(b) +i^2 \sin(a)\sin(b) +i( \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a))\\
&= &\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) +i( \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a))
\end{array}On identifie alors partie réelle et partie imaginaire pour obtenir :
\begin{array}{lll}
\cos(a+b)&=& \cos(a)\cos(b) -\sin(a)\sin(b) \\
\sin(a+b) &= &\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)
\end{array}Pour les deux formules restantes, je vous laisse faire en exercice la même chose avec a-b.
Formules de duplication
Enoncé
Les formules de duplication s’énoncent comme telles :
\begin{array}{lll}
\cos(2a) &= & \cos^2(a) - \sin^2(a)
\sin(2a) & = & 2 \sin(a)\cos(a)
\end{array}Démonstration
Au vu des formules d’addition démontrées juste avant, on prend a= b pour obtenir :
\begin{array}{lll}
\cos(2a)& =&\cos(a) \cos(a) - \sin(a)\sin(a)\\
&=& \cos^2(a) - \sin^2(a) \\.
\sin(2a) &= &\sin(a) \cos(a)+\sin(a)\cos(a) \\
&=& 2\sin(a) \cos(a)
\end{array}Et les formules de duplication sont directement démontrées !
