Ces deux formules sont essentielles pour effectuer certains calculs avec des sinus et des cosinus. Dans cet article, nous allons d’abord les énoncer et les démontrer.
Prérequis
- Forme exponentielle d’un complexe
- Sinus et cosinus
Formules d’addition
Enoncé
Soient a et b deux réels. Les formules d’addition sont :
\begin{array}{lll}
\cos(a+b)& =&\cos(a) \cos(b) - \sin(a)\sin(b)\\
\cos(a-b) &=& \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\\
\sin(a+b) &= &\sin(a) \cos(b)+\sin(b)\cos(a) \\
\sin(a-b) &=& \sin(a) \cos(b)-\sin(b)\cos(a)
\end{array}Démonstration
Passons maintenant à leur démonstration. Nous allons utiliser la forme exponentielle d’un complexe. On a, d’une part
e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i \sin(a+b)D’autre part,
\begin{array}{lll}
e^{i(a+b)} &=& e^{ia}e^{ib}\\
& = &(\cos(a)+i\sin(a) )(\cos(b)+i\sin(b))\\
&= &\cos(a)\cos(b) +i^2 \sin(a)\sin(b) +i( \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a))\\
&= &\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) +i( \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a))
\end{array}On identifie alors partie réelle et partie imaginaire pour obtenir :
\begin{array}{lll}
\cos(a+b)&=& \cos(a)\cos(b) -\sin(a)\sin(b) \\
\sin(a+b) &= &\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)
\end{array}Pour les deux formules restantes, je vous laisse faire en exercice la même chose avec a-b.
Formules de duplication
Enoncé
Les formules de duplication s’énoncent comme telles :
\begin{array}{lll}
\cos(2a) &= & \cos^2(a) - \sin^2(a)
\sin(2a) & = & 2 \sin(a)\cos(a)
\end{array}Démonstration
Au vu des formules d’addition démontrées juste avant, on prend a= b pour obtenir :
\begin{array}{lll}
\cos(2a)& =&\cos(a) \cos(a) - \sin(a)\sin(a)\\
&=& \cos^2(a) - \sin^2(a) \\.
\sin(2a) &= &\sin(a) \cos(a)+\sin(a)\cos(a) \\
&=& 2\sin(a) \cos(a)
\end{array}Et les formules de duplication sont directement démontrées !
