L’inégalité de Boole : Cours et démonstration

Découvrez l’inégalité de Boole, une inégalité utile et intuitive en probabilités
Boole

L’inégalité de Boole est une formule très intuitive en probabilité. Dans cet article, nous allons l’énoncer dans un cadre le plus général possible puis la démontrer.

Enoncé de l’inégalité de Boole

Soit (A_n)_{n \geq 1} une suite d’événements 

Cas fini 

On a relation suivante : \forall n \geq 1, \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) 

Cas infini

On suppose maintenant que la série \displaystyle \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}\left( A_k \right) est finie. On a alors \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) \leq \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k) 

Démonstration de l’inégalité de Boole 

Cas fini

Dans ce cas là, on va faire une démonstration par récurrence 

Initialisation : Pour l’initialisation, c’est très simple. On a donc n = 1. Par suite, on a bien \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^1 A_k \right) = \mathbb{P}(A_1) \leq \sum_{k=1}^1 \mathbb{P}(A_k)  = \mathbb{P}(A_1)

Hérédité : On suppose qu’il existe un entier n \in \mathbb{N} tel que \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) 

Montrons ensuite que \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k)  . Pour cela, on va utiliser que \mathbb{P}(A \cup B) + \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B) duquel on va tirer \mathbb{P}(A \cup B) \leq \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B)

On prend A= \displaystyle \cup_{k=1}^n A_k et B = A_{n+1}

On a donc   \mathbb{P}(A \cup B) \leq \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B) ce qui est équivalent à   \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \cup A_{n+1} \right) \leq \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right)  + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) 

En réécrivant, on obtient : \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right)  + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right)  . Puis, grâce à l’hypothèse de récurrence, on a alors \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right)  + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) +  \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) =\sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k)  

Ainsi, \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k)  ce qui est bien le résultat recherché, ce qui conclut notre récurrence. 

Cas infini 

On sait déjà, grâce au cas fini, que \forall n \in \mathbb{N}^*,  \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)

Le théorème de la limite monotone nous dit que \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right)  = \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) . On a ainsi, par conservation de l’inégalité lors du passage à la limite : 

\mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right)  = \lim_{ n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right)  \leq  \lim_{ n \to + \infty} \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)=\sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k)

On a utilisé l’hypothèse de convergence de la série \displaystyle \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}\left( A_k \right) . Finalement, on a bien \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right)   \leq  \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k)

L’inégalité de Boole a bien été démontrée dans le cas fini et infini. Cette inégalité constitue une démonstration plutôt classique en prépa MP/PC/PSI/PT/MPI tout comme en prépa ECG. 

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