L’inégalité de Boole est une formule très intuitive en probabilité. Dans cet article, nous allons l’énoncer dans un cadre le plus général possible puis la démontrer.
Enoncé de l’inégalité de Boole
Soit (A_n)_{n \geq 1} une suite d’événements
Cas fini
On a relation suivante : \forall n \geq 1, \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)
Cas infini
On suppose maintenant que la série \displaystyle \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}\left( A_k \right) est finie. On a alors \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) \leq \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k)
Démonstration de l’inégalité de Boole
Cas fini
Dans ce cas là, on va faire une démonstration par récurrence
Initialisation : Pour l’initialisation, c’est très simple. On a donc n = 1. Par suite, on a bien \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^1 A_k \right) = \mathbb{P}(A_1) \leq \sum_{k=1}^1 \mathbb{P}(A_k) = \mathbb{P}(A_1)
Hérédité : On suppose qu’il existe un entier n \in \mathbb{N} tel que \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) .
Montrons ensuite que \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k) . Pour cela, on va utiliser que \mathbb{P}(A \cup B) + \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B) duquel on va tirer \mathbb{P}(A \cup B) \leq \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B)
On prend A= \displaystyle \cup_{k=1}^n A_k et B = A_{n+1} .
On a donc \mathbb{P}(A \cup B) \leq \mathbb{P} (A) + \mathbb{P}(B) ce qui est équivalent à \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \cup A_{n+1} \right) \leq \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right) + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) .
En réécrivant, on obtient : \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right) + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) . Puis, grâce à l’hypothèse de récurrence, on a alors \displaystyle \mathbb{P}\left( \cup_{k=1}^n A_k \right) + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k) + \mathbb{P}\left( A_{n+1} \right) =\sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k) .
Ainsi, \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^{n+1} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_k) ce qui est bien le résultat recherché, ce qui conclut notre récurrence.
Cas infini
On sait déjà, grâce au cas fini, que \forall n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)
Le théorème de la limite monotone nous dit que \displaystyle \lim_{ n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) = \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) . On a ainsi, par conservation de l’inégalité lors du passage à la limite :
\mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) = \lim_{ n \to + \infty} \mathbb{P} \left( \cup_{k=1}^n A_k \right) \leq \lim_{ n \to + \infty} \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k)=\sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k)On a utilisé l’hypothèse de convergence de la série \displaystyle \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}\left( A_k \right) . Finalement, on a bien \displaystyle \mathbb{P} \left( \cup_{k \geq 1} A_k \right) \leq \sum_{k \geq 1} \mathbb{P}(A_k)
L’inégalité de Boole a bien été démontrée dans le cas fini et infini. Cette inégalité constitue une démonstration plutôt classique en prépa MP/PC/PSI/PT/MPI tout comme en prépa ECG.
