Pourquoi les bulles de savon sont-elles sphériques ?

Cet article de géométrie va vous aider à comprendre pourquoi les bulles de savon sont sphériques à travers des concepts de géométrie

Dans le plan

Avant de s’intéresser à la dimension 3, faisons un aparté dans le plan, et posons-nous la question suivante : quelle est la plus grande surface que l’on peut délimiter à partir d’un périmètre fixé ? Ce problème n’a été résolu qu’au XIXème siècle et ce résultat s’appelle l’inégalité isopérimétrique. Si on note L le périmètre d’une surface et S l’aire de cette surface, alors

S \leq \dfrac{L^2}{4\pi}

Et cette surface optimale est atteinte pour le cercle qui est le cas d’égalité. En effet, si je prends un cercle de rayon R, son périmétrè est

2 \pi R

Et la surface du disque associé est de

\pi R^2

Donc on a bien

\dfrac{L^2}{4\pi} = \dfrac{(2 \pi R)^2}{4\pi}=\pi R^2 = S

Dans l’espace : lien avec les bulles de savon

Dans l’espace, on a aussi une inégalité isopérimétrique. Si on note S la surface qui entoure le volume V, on a l’inégalité suivante

V^2 \leq \dfrac{S^3 }{36 \pi}

Cette inégalité est une égalité pour la sphère. En effet, son aire est

S = 4 \pi R^2

On a donc

S^3 = (4 \pi R^2)^3 = 64 \pi^3 R^6

Le volume de la boule associée est

V = \dfrac{4}{3}\pi R^3

Et donc,

V^2 = \left( \dfrac{4}{3}\pi R^3 \right)^2 = \dfrac{16}{9} \pi^2 R^6

Si on regarde le membre de droite de l’inégalité isopérimétrique, on obtient :

\dfrac{S^3}{36\pi} = \dfrac{64 \pi^3 R^6}{36 \pi} = \dfrac{16}{9}\pi^2 R^6 = V^2

Ce que cela veut dire, c’est que tout surface de même aire que la sphère aura un volume plus petit que celle-ci.

Retour aux bulles de savon

C’est le bon moment pour faire le lien avec nos bulles de savon. La membrane d’une bulle est composée d’une fine pellicule d’eau et de savon. Les molécules interagissent entre elles et engendrent une tension à la surface de la membrane. Cette tension est appelée tension superficielle. C’est la même que celle qui fait que lorsqu’on dépassé à peine le rebord d’un verre d’eau, l’eau ne coule pas.

Pourquoi a-t-on parlé de surface ? Car cette tension superficielle est proportionnelle à la surface ! Donc si on donne un volume à la bulle en la gonflant, la forme de la bulle va être de telle sorte à minimiser l’énergie et donc les forces qui permettent de la maintenir sous forme de bulle. La forme minimisant ces forces étant la forme qui minimise la surface, la bulle va donc prendre la forme d’une sphère !