Loi de Poisson : Cours et exercices corrigés

La loi de Poisson est une des lois de probabilité qui apparait pas mal dans la vie quotidienne. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• Les factorielles
• La fonction exponentielle
• La loi binomiale

Définition

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète avec un paramètre noté p. Elle a pour univers l’ensemble des entiers.

Concrètement, si on sait qu’un évènement apparait en moyenne λ fois durant un laps de temps t, alors une bonne manière de le modéliser est la loi de Poisson qui est définie par

\forall k \in \N, \mathbb{P}(X=k) =\dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

La loi de Poisson de paramètre \lambda est notée \mathcal{P}(\lambda).

Propriétés

Espérance de la loi de Poisson

L’espérance de la loi de Poisson de paramètre λ vaut λ. En voici la démonstration, par un calcul direct à l’aide d’une série. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) & =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k \mathbb{P}(X=k)\\
& =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\
& =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}  \\
\end{array}

On a enlevé le terme k = 0 qui était nul. Faisons maintenant un changement d’indice :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) & =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda} \\
&  =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k+1}}{k!}e^{-\lambda} \\
&  =\displaystyle \lambda\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\
&  =\displaystyle \lambda e^{\lambda} e^{-\lambda} \\
&  =\displaystyle \lambda  \\
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

Variance de la loi de Poisson

La variance de la loi de Poisson vaut λ. Là aussi, on va faire un calcul direct. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
 &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!}
\end{array}

On va alors découper cette somme en 2 :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2)  &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!}\\
 &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty}( k(k-1)+k )\dfrac{\lambda^k}{k!}\\
 &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k(k-1)\dfrac{\lambda^k}{k!}+ e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty}k \dfrac{\lambda^k}{k!}
\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-2)!}+\mathbb{E}(X)\\
\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k+2}}{k!}+\lambda\\
\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \lambda^2\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}+\lambda \\
\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \lambda^2e^{\lambda}+\lambda \\
\\ &= \displaystyle  \lambda^2+\lambda \\
\end{array}

Ce qui se simplifie en :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
& = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\
& = \lambda
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Approximation de la loi binomiale

Pour T assez grand, la loi binomiale converge vers la loi de Poisson

\lim_{T \to + \infty}  B(T ; \dfrac{\lambda}{T}) = P(\lambda)

La somme de lois de Poisson est une loi de Poisson. Si

On considère que cette relation est valable si T \geq 50 et \lambda \leq 5.

Somme de lois de Poisson

Si les variables aléatoires

(X_i)_{i \in \{1, \ldots, n \}}

suivent une loi de Poisson de paramètres λ_i et sont indépendantes alors

\sum_{i=1}^n X_i  \sim P \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)

Exercices corrigés de loi de Poisson

Exercice 1

Enoncé :

4 % des dossiers de crédit arrivent au service contentieux au bout d’un an après leur signature. Soit un lot de 50 dossiers. Quelle est la probabilité qu’aucun dossier ne devienne contentieux à un an ?

Corrigé :

On va modéliser ce problème par une loi de Poisson de paramètre λ = 0,04 x 50 = 2. Soit X la variable aléatoire associée. On calcule ensuite la probabilité que X = 0

\mathbb{P}(X=0) = \dfrac{\lambda^0}{0!}e ^{-\lambda} = e^{-2}\approx 13,5 \%

Exercice 2

Enoncé :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.

Calculer

\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X+1} \right)

Corrigé :
Ecrivons directement la bonne formule pour effectuer les calculs :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X+1} \right) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}\\
 &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}\\
 &= \displaystyle e^{- \lambda}\sum_{k=0}^{+ \infty}  \dfrac{\lambda^k}{(k+1)!}\\
 &= \displaystyle e^{- \lambda}\sum_{k=1}^{+ \infty}  \dfrac{\lambda^{k-1}}{k!}\\
 &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}\sum_{k=1}^{+ \infty}  \dfrac{\lambda^{k}}{k!}\\
 &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}(\sum_{k=0}^{+ \infty}  \dfrac{\lambda^{k}}{k!}-1)\\
 &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}(e^{\lambda}-1)\\
 &= \displaystyle \dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\\
\end{array}

Ce qui conclut ce calcul.

Enoncés d’exercices de loi de Poisson

Exercice 1

Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 2m sur 80 personnes.

1. Sur 100 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 2m (utiliser une loi de Poisson).
2. Sur 300 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 2m

Exercice 2

Dans un parking, l’arrivée des voitures est en moyenne de 120 par heure et suit une loi de Poisson. Calculer la probabilité de voir 4 voitures arriver en une minute.

Exercice 3

Une centrale téléphonique reçoit des appels à raison de 10 appels par heure en moyenne. On suppose que le nombre d’appels pendant un intervalle de temps quelconque suit une loi de Poisson.

1. Calculer la probabilité que durant deux minutes la centrale reçoive exactement trois appels.
2. Calculer la probabilité pour qu’en deux minutes, la centrale reçoive au moins un appel.
3. Calculer la probabilité pour qu’en deux minutes, la centrale reçoive au moins trois appels

Exercice 4

Le fil d’un métier à tisser se casse en moyenne 0,375 fois par heure de fonctionnement du métier. Trouver la probabilité pour que durant huit heures de travail, le nombre X de cassures du fil se trouve entre 2 et 4

Exercice 5

Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ?

Exercice 6

Montrer qu’une somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson (de paramètre respectif λ et µ) suit encore une loi de Poisson.

Exercice 7

Un insecte pond des oeufs suivant une loi de Poisson P(λ).
Chaque oeuf à une probabilité d’éclore avec une probabilité p, indépendante des autres oeufs. Soit Z le nombre d’oeufs qui ont éclos.

1. Donner la loi de Z.
2. En déduire l’espérance de Z

Exercice 8

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.
Déterminer la probabilité que la valeur de X soit pair.

Exercice 9

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson \mathcal{P}(\lambda). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \lambda pour que la suite (\mathbb{P}(X=k))_{k \in \N} soit décroissante.