La loi de Poisson est une des lois de probabilité qui apparait pas mal dans la vie quotidienne. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !
Prérequis
Définition
La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète avec un paramètre noté p. Elle a pour univers l’ensemble des entiers.
Concrètement, si on sait qu’un évènement apparait en moyenne λ fois durant un laps de temps t, alors une bonne manière de le modéliser est la loi de Poisson qui est définie par
\forall k \in \N, \mathbb{P}(X=k) =\dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
La loi de Poisson de paramètre \lambda est notée \mathcal{P}(\lambda).
Propriétés
Espérance de la loi de Poisson
L’espérance de la loi de Poisson de paramètre λ vaut λ. En voici la démonstration, par un calcul direct à l’aide d’une série. On a :
\begin{array}{ll} \mathbb{E} (X) & =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k \mathbb{P}(X=k)\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ & =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda} \\ \end{array}
On a enlevé le terme k = 0 qui était nul. Faisons maintenant un changement d’indice :
\begin{array}{ll} \mathbb{E} (X) & =\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda} \\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k+1}}{k!}e^{-\lambda} \\ & =\displaystyle \lambda\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\ & =\displaystyle \lambda e^{\lambda} e^{-\lambda} \\ & =\displaystyle \lambda \\ \end{array}
Ce qui est bien le résultat recherché.
Variance de la loi de Poisson
La variance de la loi de Poisson vaut λ. Là aussi, on va faire un calcul direct. On a :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!} \end{array}
On va alors découper cette somme en 2 :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X^2) &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 \dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty}( k(k-1)+k )\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} k(k-1)\dfrac{\lambda^k}{k!}+ e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty}k \dfrac{\lambda^k}{k!} \\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=2}^{+\infty} \dfrac{\lambda^k}{(k-2)!}+\mathbb{E}(X)\\ \\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k+2}}{k!}+\lambda\\ \\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \lambda^2\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}+\lambda \\ \\ &= \displaystyle e^{-\lambda} \lambda^2e^{\lambda}+\lambda \\ \\ &= \displaystyle \lambda^2+\lambda \\ \end{array}
Ce qui se simplifie en :
\begin{array}{ll} \mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\ & = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ & = \lambda \end{array}
Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !
Approximation de la loi binomiale
Pour T assez grand, la loi binomiale converge vers la loi de Poisson
\lim_{T \to + \infty} B(T ; \dfrac{\lambda}{T}) = P(\lambda)
La somme de lois de Poisson est une loi de Poisson. Si
On considère que cette relation est valable si T \geq 50 et \lambda \leq 5.
Somme de lois de Poisson
Si les variables aléatoires
(X_i)_{i \in \{1, \ldots, n \}}
suivent une loi de Poisson de paramètres λi et sont indépendantes alors
\sum_{i=1}^n X_i \sim P \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)
Exercices corrigés de loi de Poisson
Exercice 1
Enoncé :
4 % des dossiers de crédit arrivent au service contentieux au bout d’un an après leur signature. Soit un lot de 50 dossiers. Quelle est la probabilité qu’aucun dossier ne devienne contentieux à un an ?
Corrigé :
On va modéliser ce problème par une loi de Poisson de paramètre λ = 0,04 x 50 = 2. Soit X la variable aléatoire associée. On calcule ensuite la probabilité que X = 0
\mathbb{P}(X=0) = \dfrac{\lambda^0}{0!}e ^{-\lambda} = e^{-2}\approx 13,5 \%
Exercice 2
Enoncé :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Calculer
\mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X+1} \right)
Corrigé :
Ecrivons directement la bonne formule pour effectuer les calculs :
\begin{array}{ll} \mathbb{E} \left( \dfrac{1}{X+1} \right) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}\\ &= \displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{- \lambda}\\ &= \displaystyle e^{- \lambda}\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^k}{(k+1)!}\\ &= \displaystyle e^{- \lambda}\sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^{k-1}}{k!}\\ &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}\sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}\\ &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}(\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}-1)\\ &= \displaystyle \dfrac{e^{- \lambda}}{\lambda}(e^{\lambda}-1)\\ &= \displaystyle \dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\\ \end{array}
Ce qui conclut ce calcul.
Enoncés d’exercices de loi de Poisson
Exercice 1
Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 2m sur 80 personnes.
- Sur 100 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 2m (utiliser une loi de Poisson).
- Sur 300 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 2m
Exercice 2
Dans un parking, l’arrivée des voitures est en moyenne de 120 par heure et suit une loi de Poisson. Calculer la probabilité de voir 4 voitures arriver en une minute.
Exercice 3
Une centrale téléphonique reçoit des appels à raison de 10 appels par heure en moyenne. On suppose que le nombre d’appels pendant un intervalle de temps quelconque suit une loi de Poisson.
- Calculer la probabilité que durant deux minutes la centrale reçoive exactement trois appels.
- Calculer la probabilité pour qu’en deux minutes, la centrale reçoive au moins un appel.
- Calculer la probabilité pour qu’en deux minutes, la centrale reçoive au moins trois appels
Exercice 4
Le fil d’un métier à tisser se casse en moyenne 0,375 fois par heure de fonctionnement du métier. Trouver la probabilité pour que durant huit heures de travail, le nombre X de cassures du fil se trouve entre 2 et 4
Exercice 5
Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ?
Exercice 6
Montrer qu’une somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson (de paramètre respectif λ et µ) suit encore une loi de Poisson.
Exercice 7
Un insecte pond des oeufs suivant une loi de Poisson P(λ).
Chaque oeuf à une probabilité d’éclore avec une probabilité p, indépendante des autres oeufs. Soit Z le nombre d’oeufs qui ont éclos.
- Donner la loi de Z.
- En déduire l’espérance de Z
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.
Déterminer la probabilité que la valeur de X soit pair.
Exercice 9
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson \mathcal{P}(\lambda). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \lambda pour que la suite (\mathbb{P}(X=k))_{k \in \N} soit décroissante.
Serait-il possible de mettre les corrections a tous les exercices. Merci d’avance. Et agréable soirée.
Salut,
Dis-moi ceux qui t’intéressent, je les ferai petit à petit
Salut besoin de la correction de l’exercice 1