Taux d’accroissement : Cours et exercices corrigés

Voici un cours avec des exercices corrigés sur le taux d’accroissement

20 octobre 2022

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Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de taux d’accroissement, utile pour introduire la notion de dérivée.

Table des matières

Cours

Soit $I$ un intervalle. Soient $a$ et $h$ deux nombres tels que $a$ et $a+h$ soient dans I. On appelle taux d’accroissement entre f et h la quantité.

T_a(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Variante : On peut prendre $a$ et $x$ deux éléments de $I$ tels que $a \neq x$ . On définit alors le taux d’accroissement par :

\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

On peut aussi appeler cette notion le taux de variation.

Prenons la fonction carrée $f : x to x^2$ . On prend un réel $a$ et un réel $h$ arbitraires. On a :

\begin{array}{ll} T_a(h) &= \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ &= \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \dfrac{a^2 +2ah+h^2 -a^2}{h} \\ &= \dfrac{2ah+h^2 }{h} \\ &= 2a+h \end{array}

Enoncé : Déterminer le taux d’accroissement d’une fonction affine

Corrigé : On peut écrire une fonction affine sous la forme

f(x) = ax+b

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x \neq y$ . On a :

\begin{array}{ll} \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{ay+b -(ax-b)}{y-x}\\ &= \dfrac{ay-ax}{y-x}\\ &= \dfrac{a(y-x)}{y-x}\\ &=a \end{array}

Enoncé : Soit $f$ définie par $f(x) = x^2 +5x+2$ . Soit $h[/kate] un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement entre [katex] 1$ et $1+h$

Corrigé : Calculons directement le taux d'accroissement à l'aide de la formule :

\begin{array}{ll} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&= \dfrac{(1+h)^2 +5(1+h)+2 -(1^2 +5 \times 1 + 2)}{h}\\ &= \dfrac{1+2h+h^2+5+5h-1-5}{h}\\ &= \dfrac{7h+h^2}{h}\\ &=7+h \end{array}

Enoncé : Déterminer le taux d'accroissement entre deux réels $x$ et $y$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{5}{x^2+2}$

Corrigé : On utilise là aussi directement la formule du taux d'accroissement et on va utiliser les identités remarquables :

\begin{array}{ll} \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{ \frac{5}{y^2+2}-\frac{5}{x^2+2}}{y-x}\\ &= 5\dfrac{\frac{x^2+2-(y^2+2)}{(x^2+2)(y^2+2)}}{y-x}\\ &= 5\dfrac{x^2-y^2}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\ &= 5\dfrac{(x-y)(x+y)}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\ &= -5\dfrac{x+y}{(x^2+2)(y^2+2)}\\ \end{array}

On a donc fait des calculs plus complexes mais on arrive quand même à un résultat relativement simplifié