Taux d’accroissement : Cours et exercices corrigés

Voici un cours avec des exercices corrigés sur le taux d’accroissement
Tangente fonction carrée

Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de taux d’accroissement, utile pour introduire la notion de dérivée.

Cours 

Soit I un intervalle. Soient a et h deux nombres tels que a et a+h soient dans I. On appelle taux d’accroissement entre f et h la quantité.

T_a(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Variante : On peut prendre a et x deux éléments de I tels que a \neq x . On définit alors le taux d’accroissement par :

\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

On peut aussi appeler cette notion le taux de variation.

Exemple

Prenons la fonction carrée f : x to x^2 . On prend un réel a et un réel h arbitraires. On a :

\begin{array}{ll}
T_a(h) &= \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
&= \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
&= \dfrac{a^2 +2ah+h^2 -a^2}{h} \\
&= \dfrac{2ah+h^2 }{h} \\
&= 2a+h
\end{array}

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé : Déterminer le taux d’accroissement d’une fonction affine

Corrigé : On peut écrire une fonction affine sous la forme

f(x) = ax+b 

Soient x et y deux réels tels que x \neq y . On a :

\begin{array}{ll}
\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{ay+b -(ax-b)}{y-x}\\
&= \dfrac{ay-ax}{y-x}\\
&= \dfrac{a(y-x)}{y-x}\\
&=a
\end{array}

Exercice 2

Enoncé : Soit f définie par f(x) = x^2 +5x+2. Soit h[/kate] un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement entre [katex] 1 et 1+h

Corrigé : Calculons directement le taux d'accroissement à l'aide de la formule :

\begin{array}{ll}
\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&= \dfrac{(1+h)^2 +5(1+h)+2 -(1^2 +5 \times 1 + 2)}{h}\\
&= \dfrac{1+2h+h^2+5+5h-1-5}{h}\\
&= \dfrac{7h+h^2}{h}\\
&=7+h
\end{array}

Exercice 3

Enoncé : Déterminer le taux d'accroissement entre deux réels x et y de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{5}{x^2+2}

Corrigé : On utilise là aussi directement la formule du taux d'accroissement et on va utiliser les identités remarquables :

\begin{array}{ll}
\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{  \frac{5}{y^2+2}-\frac{5}{x^2+2}}{y-x}\\
&= 5\dfrac{\frac{x^2+2-(y^2+2)}{(x^2+2)(y^2+2)}}{y-x}\\
&= 5\dfrac{x^2-y^2}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\
&= 5\dfrac{(x-y)(x+y)}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\
&= -5\dfrac{x+y}{(x^2+2)(y^2+2)}\\
\end{array}

On a donc fait des calculs plus complexes mais on arrive quand même à un résultat relativement simplifié

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