Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de taux d’accroissement, utile pour introduire la notion de dérivée.
Cours
Soit I un intervalle. Soient a et h deux nombres tels que a et a+h soient dans I. On appelle taux d’accroissement entre f et h la quantité.
T_a(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Variante : On peut prendre a et x deux éléments de I tels que a \neq x . On définit alors le taux d’accroissement par :
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
On peut aussi appeler cette notion le taux de variation.
Exemple
Prenons la fonction carrée f : x to x^2 . On prend un réel a et un réel h arbitraires. On a :
\begin{array}{ll} T_a(h) &= \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ &= \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \dfrac{a^2 +2ah+h^2 -a^2}{h} \\ &= \dfrac{2ah+h^2 }{h} \\ &= 2a+h \end{array}
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Déterminer le taux d’accroissement d’une fonction affine
Corrigé : On peut écrire une fonction affine sous la forme
f(x) = ax+b
Soient x et y deux réels tels que x \neq y . On a :
\begin{array}{ll} \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{ay+b -(ax-b)}{y-x}\\ &= \dfrac{ay-ax}{y-x}\\ &= \dfrac{a(y-x)}{y-x}\\ &=a \end{array}
Exercice 2
Enoncé : Soit f définie par f(x) = x^2 +5x+2. Soit h[/kate] un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement entre [katex] 1 et 1+h
Corrigé : Calculons directement le taux d'accroissement à l'aide de la formule :
\begin{array}{ll} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&= \dfrac{(1+h)^2 +5(1+h)+2 -(1^2 +5 \times 1 + 2)}{h}\\ &= \dfrac{1+2h+h^2+5+5h-1-5}{h}\\ &= \dfrac{7h+h^2}{h}\\ &=7+h \end{array}
Exercice 3
Enoncé : Déterminer le taux d'accroissement entre deux réels x et y de la fonction f définie par f(x) = \dfrac{5}{x^2+2}
Corrigé : On utilise là aussi directement la formule du taux d'accroissement et on va utiliser les identités remarquables :
\begin{array}{ll} \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}&= \dfrac{ \frac{5}{y^2+2}-\frac{5}{x^2+2}}{y-x}\\ &= 5\dfrac{\frac{x^2+2-(y^2+2)}{(x^2+2)(y^2+2)}}{y-x}\\ &= 5\dfrac{x^2-y^2}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\ &= 5\dfrac{(x-y)(x+y)}{(y-x)(x^2+2)(y^2+2)}\\ &= -5\dfrac{x+y}{(x^2+2)(y^2+2)}\\ \end{array}
On a donc fait des calculs plus complexes mais on arrive quand même à un résultat relativement simplifié