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Cours

Loi de Student : Cours

La loi de Student est, après la loi normale, une des lois de probabilité parmi les plus connues. Elle a de nombreuses utilisations en statistiques avec le test de Student qui l’un des tests parmi les plus utilisés. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

Définition

Soit k un entier non nul.
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée réduite et U une variable aléatoire indépendate de Z qui suit une loi du χ2 à k degré de liberté.

En définissant T par T = \dfrac{Z}{\sqrt{U/k}} alors on dit que T suit une loi de Student à k degrés de liberté.
On note alors t(k) une loi de Student à k degrés de liberté.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d’un loi de Student à k degrés de liberté est

f_T(t) = \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}} \dfrac{\Gamma \left( \frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma \left( \frac{k}{2}\right)}\left( 1+\dfrac{t^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}

où Γ est la fonction Gamma.

Fonction de répartition

Pour définir la fonction de répartition de la loi de Student, on doit d’abord définir la fonction hypergéométrique. Cette fonction, notée 2F1 est définie par

_2F_1(a,b,c,z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\dfrac{z^n}{n!}

(a)_n = \left\{\begin{array}{ll}
1 &\text{si } n=0\\
a(a+1)\ldots (a+n-1) &\text{si } n>0
\end{array}\right.

Et donc, à partir de cette fonction, on peut écrire sa fonction de répartition avec

F_T(t) = \dfrac{1}{2} + t\Gamma\left( \dfrac{k+1}{2}\right) \dfrac{_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},-\frac{t^2}{k}\right)}{\sqrt{k\pi}\Gamma \left( \dfrac{k}{2}\right)}

Espérance de la loi de Student

L’espérance de la loi de Student de paramètre k :

  • N’est pas définie si k = 1
  • Vaut 0 si k > 1.

Variance de la loi de Student

La variance de la loi de Student vaut :

  • N’est pas définie si k = 1
  • Est infinie si k = 2
  • Vaut \dfrac{k}{k-2} si k > 2

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