Loi de Student : Cours

La loi de Student est, après la loi normale, une des lois de probabilité parmi les plus connues. Elle a de nombreuses utilisations en statistiques avec le test de Student qui l’un des tests parmi les plus utilisés. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• Loi normale
• Loi du χ²
• Fonction Gamma

Définition

Soit k un entier non nul.
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée réduite et U une variable aléatoire indépendante de Z qui suit une loi du χ² à k degré de liberté.

En définissant T par T = \dfrac{Z}{\sqrt{U/k}} alors on dit que T suit une loi de Student à k degrés de liberté.
On note alors t(k) une loi de Student à k degrés de liberté.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d’un loi de Student à k degrés de liberté est

f_T(t) = \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}} \dfrac{\Gamma \left( \frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma \left( \frac{k}{2}\right)}\left( 1+\dfrac{t^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}

où Γ est la fonction Gamma.

Fonction de répartition

Pour définir la fonction de répartition de la loi de Student, on doit d’abord définir la fonction hypergéométrique. Cette fonction, notée ₂F₁ est définie par

_2F_1(a,b,c,z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\dfrac{z^n}{n!}

Où

(a)_n = \left\{\begin{array}{ll}
1 &\text{si } n=0\\
a(a+1)\ldots (a+n-1) &\text{si } n>0
\end{array}\right.

Et donc, à partir de cette fonction, on peut écrire sa fonction de répartition avec

F_T(t) = \dfrac{1}{2} + t\Gamma\left( \dfrac{k+1}{2}\right) \dfrac{_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},-\frac{t^2}{k}\right)}{\sqrt{k\pi}\Gamma \left( \dfrac{k}{2}\right)}

Espérance de la loi de Student

L’espérance de la loi de Student de paramètre k :

• N’est pas définie si k = 1
• Vaut 0 si k > 1.

Variance de la loi de Student

La variance de la loi de Student vaut :

• N’est pas définie si k = 1
• Est infinie si k = 2
• Vaut \dfrac{k}{k-2} si k > 2