Ensemble D : Tout ce qu’il faut savoir sur les nombres décimaux

Découvrez la construction de l’ensemble D et ses principales propriétés
Nombres décimaux

Les nombres décimaux sont un type de nombre fondamental en mathématiques, qui jouent un rôle important dans de nombreuses applications pratiques, comme la comptabilité, la géométrie et la physique. Dans cet article, nous allons explorer les différents aspects des nombres décimaux, y compris leur nécessité, leur construction et leurs propriétés.

Prérequis

Histoire de l’ensemble D

Les nombres décimaux ont une histoire longue et riche, qui remonte à plusieurs millénaires. Les premiers exemples connus de nombres décimaux ont été utilisés par les Babyloniens et les Égyptiens il y a environ 4000 ans, bien que ces nombres étaient exprimés sous une forme différente de celle que nous utilisons aujourd’hui.

Le système de notation décimale actuel a été développé par le mathématicien indien Brahmagupta au VIIème siècle. Ce système a été adopté par les mathématiciens européens au XIIIème siècle, grâce notamment aux travaux de l’astronome et mathématicien italien Leonardo Fibonacci.

Définition de l’ensemble D

Les nombres décimaux \mathbb{D} peuvent être construits en utilisant des fractions et des puissances de dix. Par exemple, le nombre décimal 0,25 peut être construit en utilisant la fraction 1/4, et le nombre décimal 0,001 peut être construit en utilisant la fraction \dfrac{1}{1000}

En général, un nombre décimal peut être écrit sous la forme suivante :

d = a_0 + a_1 * 10^{-1} + a_2 * 10^{-2} + \ldots + a_n * 10^{-n}

a_0, a_1, a_2,\ldots, a_n sont des entiers qui représentent les chiffres du nombre décimal. Par exemple, le nombre décimal 3,14 peut être écrit sous la forme :

d = 3 + 1 * 10^{-1}+ 4 * 10^{-2}

On dit que ces nombres ont un développement décimal limité. D’un point de vue ensembliste, on peut écrire les nombres décimaux sous la forme :

\mathbb{D} = \left\{ \dfrac{n}{10^p}, n \in \Z, p \in \N \right\}

Propriétés de l’ensemble D

Voici les propriétés les plus importantes de l’ensemble mathbb{D} :

  • Quand on les écrit sous la forme d’une fraction d’entiers irréductible, son dénominateur est le produit d’une puissance de 2 et d’une puissance de 5.
  • Ils ont un développement décimal limité
  • On peut diminuer d’un cran leur chiffre pour créer un développement décimal impropre. Par exemple, 0,99999….. = 1 (voir notre article à ce sujet) ou encore 2,15 = 2,1499999999
  • On a \mathbb{Z}\subset \mathbb{D} \subbet \mathbb{Q}
  • ( mathbb{D},+) a une structure de groupes
  • ( mathbb{D},+,x) a une structure d’anneau
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