Ensemble N : Tout ce qu’il faut savoir sur les nombres entiers

Dans cet article, nous vous présentons tout ce qu’il faut savoir sur l’ensemble des entiers \mathbb{N}

Construction de l’ensemble N

Les axiomes de Peano nous disent qu’il existe un ensemble E non vide et une fonction appelée fonction successeur S : E \to E tels que :

• E \backslash S(E) est un singleton noté \{ 0 \}
• S est injective
• \forall A \subset E \left( (0 \in A) \wedge \left(\forall x \in E (x \in A) \Rightarrow (S(x) \in A) \right) \right) \iff (A = E)

S(0) est noté 1.

On construit alors les lois + et x sur E par :

• \forall x \in E, x+ 0 = x
• \forall x,y \in E, x+ S(y) = S(x+y)
• \forall x \in E, x \times 0 = 0
• \forall x,y \in E, x\times S(y)= x \times y + x

Si x,y \in E, x\times y est noté xy ou x.y

L’exponentiation est définie par

\forall x \in E, x^0 = 1, \forall x,y \in E, x^{S(y)} = x^y x

De plus, la relation \leq est définie par

\forall x,y \in E, x\leq y \text{ si } \exists z \in E, x+z = y

On montre alors que si E' est une autre ensemble vérifiant ces axiomes et que les lois +, x et \leq sont construites comme précédemment, il existe une bijection \theta de E sur E' telle que

\forall x,y \in E,\\ \begin{array}{l}
\theta(x+y) = \theta(x)+\theta (y)\\
\theta(x\times y) = \theta(x) \times \theta(y)\\
(x\leq y) \Rightarrow (\theta(x) \leq \theta(y))
\end{array}

Ce qui fait qu’on peut identifier les ensembles E et E' et on parlera d’unicité de E. On notera cet ensemble \N

Propriétés de l’ensemble N

Les propriétés de \N sont nombreuses et connues. Voici la plupart d’entre elles : \forall x,y,z \in \N :

• S(x) = x+1
• x+y = y+x; xy = yx (Commutativité)
• x+ (y+z) = (x+y)+z ; (xy) z = x(yz) (Associativité)
• 0+x = x+0 = x ; x.1 = 1.x = x (Elément neutre)
• x(y+z) = xy+xz=(y+z)x (Distributivité)
• x+y = y+z \Rightarrow x=y
• (xz= yz) \wedge (z= 0) \Rightarrow (x=y)
• x+y = 0 \Rightarrow x=y=0; (xy) = 0 \Rightarrow (x=0) \vee (y= 0)

De plus, \leq est une relation d’ordre totale sur \N. Ce qui nous donne toutes ces propriétés :

• x\leq y \Rightarrow x+z \leq y+z
• x\leq y \Rightarrow xz \leq yz
• (z\neq 0) \Rightarrow \left((xz\leq yz) \Rightarrow (x\leq y)\right)
• (x \leq y) \wedge (z \leq t) \Rightarrow x+z \leq y+t
• y \neq 0 \Rightarrow \exists t \in \N, x \leq ty
• \left(x \leq y \leq S(x)\right)\Rightarrow \left( (y=x) \vee (y= S(x))\right)
• Si x \leq y, il existe z\in \N tel que y = z+x . On note alors z = y-x
• Si x \leq y et z \leq t alors x+z \leq y+t et (y-x)+ (t-z) = (y+t) -(x+z)
• Si x \leq y et z \in \N alors zx \leq zy et z(y-x) = zy-zx

Récurrence et bon ordre

On retiendra principalement les deux points suivants, essentiels à l’ensemble \N :

• Les principes de récurrences sont vérifiés
• Toute partie non vide de \N possède un minimum
• Tout partie non vide majorée de \N possède un maximum