Après avoir vu la forme algèbrique et la forme trigonométrique, découvrez la forme finale des nombres complexes : la forme exponentielle !
Prérequis
Définition
Nous allons poser e^{i \theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) . Un complexe z qui se note sous forme trigonométrique z = |z| (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) peut alors se noter z =r e^{i \theta} où r est le module de z et \theta est un argument.
De cette égalité, on tire d’ailleurs la fameuse identité e^{i \pi} + 1=0. On a donc aussi quelques autres valeurs à retenir : e^{i \frac{\pi}{2}} = i; e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i
Pour trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe, il suffit donc de connaître le module et l’argument de ce nombre.
Propriétés
Les propriétés de l’exponentielle sont bien respectées sous cette forme. Il devient alors très facile de faire des produits. Soit z= re^{i \theta} et z'= r'e^{i \theta'}. On a alors :
- zz' = (re^{i \theta})(r' e^{i \theta'}) = rr' e^{i (\theta+\theta')}
- Si z \neq 0, \dfrac{1}{z} =\dfrac{1}{re^{i\theta}}= \dfrac{1}{r}e^{-i\theta}
- \overline{z} = re^{- i \theta}
- |e^{i\theta}=1
- Tout comme pour la forme trigonométrique, on a l’égalité de 2 complexes si et seulement si :
z=z' \iff \left\{ \begin{array}{rcl} r&=&r' \\ \theta & \equiv & \theta'[2\pi] \end{array} \right.
