Loi Triangulaire : Cours et exercice corrigé

La loi triangulaire est une loi de probabilité qui doit son nom à sa forme. C’est une loi de probabilité qu’il n’est généralement pas nécessaire de retenir, mais il peut être évidemment être intéressant de connaitre son existence

Prérequis

• La loi uniforme

Définition

Loi triangulaire discrète

Nous allons présenter un cas bien particulier, celle d’une loi triangulaire centrée en 0 et isocèle (le triangle obtenu est isocèle), donc son univers sera défini sur [-a;a ] . Soit a \in \N^* . Sa densité de probabilité sera définie par

\forall k \in \{ -a, -a+1, \ldots, a-1,a\}, \mathbb P (X=k) = \dfrac{a+1-|x|}{(a+1)^2}

Comme elle est symétrique en 0, son espérance est nulle

Loi triangulaire continue

On va prendre 3 réels a,b,c . La loi triangulaire continue sera définie sur ]a;b[ , avec un mode c et a pour densité :

f(x) =  \left\{\begin{array}{ll} 
\dfrac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{si } a \leq x \leq c\\
\dfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{si } a \leq x \leq c\\
0 & \text{sinon }
\end{array} \right.

Fonction de répartition

Sa fonction de répartition est définie par

f(x) =  \left\{\begin{array}{ll} 
\dfrac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \text{si } a \leq x \leq c\\
\dfrac{1-(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \text{si } a \leq x \leq c\\
\end{array} \right.

Propriétés

Espérance de la loi triangulaire continue

Son espérance vaut

\mathbb{E}(X) = \dfrac{a+b+c}{3}

Exercice : Démontrer la valeur de l’espérance

Variance de la loi triangulaire continue

La loi triangulaire continue a pour variance

V(X) = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}

Pour y arriver, rien de bien méchant mais de nombreux calculs.

Lien avec la loi uniforme continue

Soient X_1 et X_2 deux variables aléatoires suivant une loi uniforme continue sur [0;1]. Alors les variables aléatoires :

• Y = \dfrac{X_1+X_2}{2}
• Z = \dfrac{|X_2-X_1|}{2}

Suivent une loi triangulaire de paramètres a= 0, b= 1, c= \dfrac{1}{2}

Exercice corrigé

Enoncé

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [-1,1], dont le graphe de la densité f_X forme un triangle isocèle.

1. Déterminer l’expression de f_X. En déduire l’expression de la fonction de répartition
2. Calculer l’espérance et la variance de X
3. Calculer \mathbb{P}\left[X^2 \leq \dfrac{1}{4}\right]
4. Déterminer la distribution de Y= X^2

Question 1

On sait que la loi est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. De plus, on a une hauteur (qu’on va déterminer) à l’origine et on sait que cela vaut 0 en 0.

On cherche une fonction affine telle que f(0) = a et f(1) = 0 . Posons f définie par f(x) = cx +d . On a alors f(0) = a = d . De plus, f(1) = c+d = 0. D’où c = -d = -a . Ainsi, f peut s’écrire f(x) = a(1-x) .

Maintenant, on sait que \displaystyle \int_0^1 f(t) dt = \dfrac{1}{2}. Or,

\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_0^1 f(t) dt &= \displaystyle\int_0^1 a(1-t) dt\\
& =\displaystyle \int_0^1 (a - at )dt \\
& =\displaystyle \left[at - \dfrac{1}{2}at^2\right]_0^1dt \\
& =a - \dfrac{a}{2} \\
& =\dfrac{a}{2} \\
\end{array}

D’où a= 1. La fonction sur [0;1] est donc défini par 1-x. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées nous permet d’en déduire que la fonction est paire

Ainsi, on peut écrire la fonction sous la forme f(x) = 1-|x| dont le support est [-1,1]

Calcul de la fonction de répartition :

• Si x < -1 , on a F_X(x) = 0
• Si -1 \leq x < 0 , on a F_X(x) = \displaystyle \int_{-1}^x (1+t) dt = \displaystyle \left[ t + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^x = x + \frac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{(1+x)^2}{2}
• Lorsque 0 \leq x < 1 , on a F_X(x) = F_X(0)+\displaystyle \int_{0}^x (1-t) dt =\dfrac{1}{2}+ \displaystyle \left[ -\frac{(1-t)^2}{2}\right]_{0}^x = 1-\dfrac{(1-x)^2}{2}
• Si x > 1 , on a F_X(x) = 1

Question 2

Comme la fonction est paire, \mathbb{E}(X) = 0 . Calculons alors la variance. On a V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 = \mathbb{E}(X^2).

Calculons la variance :

\begin{array}{ll}
V(X) &= \displaystyle \int_{-1}^1 x^2 f_X(x) dx \\
 &= \displaystyle \int_{-1}^0 x^2 (1+x) dx+\int_{0}^1 x^2 (1-x) dx \\
 &= \displaystyle \left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^0+\left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \right]_{0}^1 dx \\
 &= \displaystyle  \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{4} dx \\
V(X) & = \dfrac{1}{6}
\end{array}

Question 3

Faisons directement le calcul :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}\left[X^2 \leq \dfrac{1}{4}\right]& = \mathbb{P}\left[-\dfrac{1}{2}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right]\\
& = F_X \left( \dfrac{1}{2}\right)- F_X \left( -\dfrac{1}{2}\right)\\
&= 1-\dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{2} \right)^2}{2}-\dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{2} \right)^2}{2}\\
&= \dfrac{3}{4}
\end{array}

Question 4

Soit y \geq 0 . On a : \mathbb{P}(Y \leq y ) = \mathbb{P}(X^2 \leq y ) = \mathbb{P}(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y} ) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(- \sqrt{y})

Par dérivation, on obtient \forall y \in [0,1], f_Y(y) = \dfrac{1-\sqrt{y}}{\sqrt{y}}, ce qui conclut cet exercice.