La loi triangulaire est une loi de probabilité qui doit son nom à sa forme. C’est une loi de probabilité qu’il n’est généralement pas nécessaire de retenir, mais il peut être évidemment être intéressant de connaitre son existence
Prérequis
Définition
Loi triangulaire discrète
Nous allons présenter un cas bien particulier, celle d’une loi triangulaire centrée en 0 et isocèle (le triangle obtenu est isocèle), donc son univers sera défini sur [-a;a ] . Soit a \in \N^* . Sa densité de probabilité sera définie par
\forall k \in \{ -a, -a+1, \ldots, a-1,a\}, \mathbb P (X=k) = \dfrac{a+1-|x|}{(a+1)^2}
Comme elle est symétrique en 0, son espérance est nulle
Loi triangulaire continue
On va prendre 3 réels a,b,c . La loi triangulaire continue sera définie sur ]a;b[ , avec un mode c et a pour densité :
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{si } a \leq x \leq c\\ \dfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{si } a \leq x \leq c\\ 0 & \text{sinon } \end{array} \right.
Fonction de répartition
Sa fonction de répartition est définie par
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \text{si } a \leq x \leq c\\ \dfrac{1-(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \text{si } a \leq x \leq c\\ \end{array} \right.
Propriétés
Espérance de la loi triangulaire continue
Son espérance vaut
\mathbb{E}(X) = \dfrac{a+b+c}{3}
Exercice : Démontrer la valeur de l’espérance
Variance de la loi triangulaire continue
La loi triangulaire continue a pour variance
V(X) = \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}
Pour y arriver, rien de bien méchant mais de nombreux calculs.
Lien avec la loi uniforme continue
Soient X_1 et X_2 deux variables aléatoires suivant une loi uniforme continue sur [0;1]. Alors les variables aléatoires :
- Y = \dfrac{X_1+X_2}{2}
- Z = \dfrac{|X_2-X_1|}{2}
Suivent une loi triangulaire de paramètres a= 0, b= 1, c= \dfrac{1}{2}
Exercice corrigé
Enoncé
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [-1,1], dont le graphe de la densité f_X forme un triangle isocèle.
- Déterminer l’expression de f_X. En déduire l’expression de la fonction de répartition
- Calculer l’espérance et la variance de X
- Calculer \mathbb{P}\left[X^2 \leq \dfrac{1}{4}\right]
- Déterminer la distribution de Y= X^2
Question 1
On sait que la loi est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. De plus, on a une hauteur (qu’on va déterminer) à l’origine et on sait que cela vaut 0 en 0.
On cherche une fonction affine telle que f(0) = a et f(1) = 0 . Posons f définie par f(x) = cx +d . On a alors f(0) = a = d . De plus, f(1) = c+d = 0. D’où c = -d = -a . Ainsi, f peut s’écrire f(x) = a(1-x) .
Maintenant, on sait que \displaystyle \int_0^1 f(t) dt = \dfrac{1}{2}. Or,
\begin{array}{ll} \displaystyle \int_0^1 f(t) dt &= \displaystyle\int_0^1 a(1-t) dt\\ & =\displaystyle \int_0^1 (a - at )dt \\ & =\displaystyle \left[at - \dfrac{1}{2}at^2\right]_0^1dt \\ & =a - \dfrac{a}{2} \\ & =\dfrac{a}{2} \\ \end{array}
D’où a= 1. La fonction sur [0;1] est donc défini par 1-x. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées nous permet d’en déduire que la fonction est paire
Ainsi, on peut écrire la fonction sous la forme f(x) = 1-|x| dont le support est [-1,1]
Calcul de la fonction de répartition :
- Si x < -1 , on a F_X(x) = 0
- Si -1 \leq x < 0 , on a F_X(x) = \displaystyle \int_{-1}^x (1+t) dt = \displaystyle \left[ t + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^x = x + \frac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{(1+x)^2}{2}
- Lorsque 0 \leq x < 1 , on a F_X(x) = F_X(0)+\displaystyle \int_{0}^x (1-t) dt =\dfrac{1}{2}+ \displaystyle \left[ -\frac{(1-t)^2}{2}\right]_{0}^x = 1-\dfrac{(1-x)^2}{2}
- Si x > 1 , on a F_X(x) = 1
Question 2
Comme la fonction est paire, \mathbb{E}(X) = 0 . Calculons alors la variance. On a V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 = \mathbb{E}(X^2).
Calculons la variance :
\begin{array}{ll} V(X) &= \displaystyle \int_{-1}^1 x^2 f_X(x) dx \\ &= \displaystyle \int_{-1}^0 x^2 (1+x) dx+\int_{0}^1 x^2 (1-x) dx \\ &= \displaystyle \left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^0+\left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4} \right]_{0}^1 dx \\ &= \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{4} dx \\ V(X) & = \dfrac{1}{6} \end{array}
Question 3
Faisons directement le calcul :
\begin{array}{ll} \mathbb{P}\left[X^2 \leq \dfrac{1}{4}\right]& = \mathbb{P}\left[-\dfrac{1}{2}\leq X \leq \dfrac{1}{2}\right]\\ & = F_X \left( \dfrac{1}{2}\right)- F_X \left( -\dfrac{1}{2}\right)\\ &= 1-\dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{2} \right)^2}{2}-\dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{2} \right)^2}{2}\\ &= \dfrac{3}{4} \end{array}
Question 4
Soit y \geq 0 . On a : \mathbb{P}(Y \leq y ) = \mathbb{P}(X^2 \leq y ) = \mathbb{P}(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y} ) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(- \sqrt{y})
Par dérivation, on obtient \forall y \in [0,1], f_Y(y) = \dfrac{1-\sqrt{y}}{\sqrt{y}}, ce qui conclut cet exercice.