Voici la correction détaillée d’une planche d’exercices tombés à l’oral CCINP en 2022. Ces exercices font appel aux chapitres des endomorphismes, et plus précisément des projecteurs et aussi des intégrales à paramètres.
Exercice 1 : Algèbre
Enoncé

Corrigé
Voici la correction directement proposée par le concours CCINP :

Pour rappel, le PDF de l’ensemble des corrections du concours CCINP se trouve à ce lien. Passons maintenant au second exercice d’oral CCINP.
Exercice 2 : Analyse
Enoncé

Corrigé
Question 1
On pose f définie sur
\left(\R_+\right)^2 \mapsto \R
Telle que
f : (x,t) \longmapsto \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t}
On a :
\forall x \in \R_+, \; t \mapsto f(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls.
De plus, en +∞
\forall (x,t) \in \left(\R_+\right)^2, \lvert f(x,t) \rvert \leqslant \dfrac{e^{-tx}}{t}
Et, comme x > 0 :
\dfrac{e^{-tx}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)
par croissance comparée. Par comparaison aux intégrales de Riemann, on en conclut que la fonction f est intégrable sur [1,+∞[.
En 0+,
f(x,t) \underset{t\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{\sin{t}}{t}
Donc,
f(x,t) = 1 + \underset{t\rightarrow 0^+}{o}(1)
On en déduit que la fonction f est prolongeable par continuité en 0. Donc, f est intégrable sur ]0,1].
Ainsi, pour tout x réel positif, la fonction
t \mapsto f(x,t)
est intégrable sur ]0,+∞[. La fonction F est donc bien définie sur les réels positifs.
Question 2
Plusieurs points :
\forall t \in \R_+, \; x \mapsto f(x,t)
Est de classe C1 sur les réels positifs.
De plus,
\forall (x,t) \in \left(\R_+^*\right)^2,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)= -e^{-tx}\sin{t}
D’après la question 1,
\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto f(x,t)
est intégrable sur les réels positifs.
Aussi,
\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs.
On a aussi
\forall t \in \R_+^*, \forall x \in [a,b]\subset\R_+^*,\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right\rvert = e^{-tx}\lvert\sin{t}\rvert \leqslant e^{-at}
On pose alors :
\varphi : t \mapsto e^{-at}
Or, φ est positive, indépendante de x, et continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls. Et en +∞, comme a > 0,
\varphi\,(t) = \underset{t\rightarrow+\infty}{O}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)
Donc, par comparaisons aux intégrales de Riemann, φ est intégrable sur les réels positifs.. Ainsi, l’hypothèse de domination est établie.
D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, on en déduit que F est de classe C1 sur les réels positifs.
Question 3
La question précédente nous permet d’affirmer :
\forall x \in \R_+^*, \quad F'(x)=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)~\textrm{d}t=-\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t
Ainsi, pour tout x réel positif :
\begin{align*} F'(x) &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t \\ &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\:\mathfrak{Im}(e^{it})~\textrm{d}t \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{t(i-x)}~\textrm{d}t \right) \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{i-x}\left[e^{t(i-x)}\right] _{t\rightarrow 0}^{t \rightarrow +\infty} \right) \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{x-i} \right) \\ \Rightarrow F'(x) &= -\dfrac{1}{1+x^2} \end{align*}
On en déduit alors que, sur les réels postifs, F(x)=C-\arctan(x).
Il reste donc à déterminer la valeur de la constante d’intégration C. Pour cela, déterminons la limite de F en +∞. On restreint donc x dans [1,+∞[.
On a alors :
\forall x \in [1,+\infty[, \; t \mapsto f(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs.
De plus,
\forall t \in \R_+^*, f(x,t)=\dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0
Et puis l’hypothèse de domination :
\forall t \in \R_+^*,\forall x \in [1,+\infty[, \left\lvert \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \right\rvert \leqslant \dfrac{e^{-t}}{t}
Or,
t\mapsto \dfrac{e^{-t}}{t}
est positive, indépendante de x, et intégrable sur les réels positifs par comparaison aux intégrales de Riemann. En effet, par croissance comparée
\dfrac{e^{-t}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)
D’après le théorème de convergence dominée dans le cadre des intégrales à paramètres, on en déduit que :
F(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0
Or,
\arctan(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}} \dfrac{\pi}{2}
On en déduit alors l’expression de F.
Ceci conclut le second exercice d’oral de CCINP !
Merci à Colin Coërchon pour la proposition de ces exercices corrigés
Bonjour, attention la fonction de domination t-> e^{-t}/t n’est pas bonne car elle n’est pas intégrable en 0+. Pour calculer la limite en +infini, je pense qu’utiliser l’inégalité des accroissements finis pour majorer e^{-tx}sin(t)/t par e^{-tx}, puis l’intégrale par 1/x est plus judicieux.
Bonjour,
J’ai bien précisé utiliser cette fonction au voisinage de + infini
J’utilise une autre fonction au voisinage de 0.
Le but est de montrer la convergence. Et donc, on n’est pas obligé de majorer uniformément. Il suffit de prouver que cela converge au voisinage de 0, par les moyens qu’on veut, puis au voisinage de +infini, par les moyens qu’on veut et pas forcément les mêmes moyens qu’en 0.