Au sommaire de cet article
Voici la correction détaillée d’une planche d’exercices tombés à l’oral CCINP en 2022. Ces exercices font appel aux chapitres des endomorphismes, et plus précisément des projecteurs et aussi des intégrales à paramètres.
Exercice 1 : Algèbre
Enoncé

Corrigé
Voici la correction directement proposée par le concours CCINP :

Pour rappel, le PDF de l’ensemble des corrections du concours CCINP se trouve à ce lien. Passons maintenant au second exercice d’oral CCINP.
Exercice 2 : Analyse
Enoncé

Corrigé
Question 1
On pose f définie sur
\left(\R_+\right)^2 \mapsto \R
Telle que
f : (x,t) \longmapsto \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t}
On a :
\forall x \in \R_+, \; t \mapsto f(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls.
De plus, en +∞
\forall (x,t) \in \left(\R_+\right)^2, \lvert f(x,t) \rvert \leqslant \dfrac{e^{-tx}}{t}
Et, comme x > 0 :
\dfrac{e^{-tx}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)
par croissance comparée. Par comparaison aux intégrales de Riemann, on en conclut que la fonction f est intégrable sur [1,+∞[.
En 0+,
f(x,t) \underset{t\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{\sin{t}}{t}
Donc,
f(x,t) = 1 + \underset{t\rightarrow 0^+}{o}(1)
On en déduit que la fonction f est prolongeable par continuité en 0. Donc, f est intégrable sur ]0,1].
Ainsi, pour tout x réel positif, la fonction
t \mapsto f(x,t)
est intégrable sur ]0,+∞[. La fonction F est donc bien définie sur les réels positifs.
Question 2
Plusieurs points :
\forall t \in \R_+, \; x \mapsto f(x,t)
Est de classe C1 sur les réels positifs.
De plus,
\forall (x,t) \in \left(\R_+^*\right)^2,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)= -e^{-tx}\sin{t}
D’après la question 1,
\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto f(x,t)
est intégrable sur les réels positifs.
Aussi,
\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs.
On a aussi
\forall t \in \R_+^*, \forall x \in [a,b]\subset\R_+^*,\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right\rvert = e^{-tx}\lvert\sin{t}\rvert \leqslant e^{-at}
On pose alors :
\varphi : t \mapsto e^{-at}
Or, φ est positive, indépendante de x, et continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls. Et en +∞, comme a > 0,
\varphi\,(t) = \underset{t\rightarrow+\infty}{O}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)
Donc, par comparaisons aux intégrales de Riemann, φ est intégrable sur les réels positifs.. Ainsi, l’hypothèse de domination est établie.
D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, on en déduit que F est de classe C1 sur les réels positifs.
Question 3
La question précédente nous permet d’affirmer :
\forall x \in \R_+^*, \quad F'(x)=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)~\textrm{d}t=-\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t
Ainsi, pour tout x réel positif :
\begin{align*} F'(x) &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t \\ &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\:\mathfrak{Im}(e^{it})~\textrm{d}t \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{t(i-x)}~\textrm{d}t \right) \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{i-x}\left[e^{t(i-x)}\right] _{t\rightarrow 0}^{t \rightarrow +\infty} \right) \\ &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{x-i} \right) \\ \Rightarrow F'(x) &= -\dfrac{1}{1+x^2} \end{align*}
On en déduit alors que, sur les réels postifs, F(x)=C-\arctan(x).
Il reste donc à déterminer la valeur de la constante d’intégration C. Pour cela, déterminons la limite de F en +∞. On restreint donc x dans [1,+∞[.
On a alors :
\forall x \in [1,+\infty[, \; t \mapsto f(x,t)
est continue par morceaux sur les réels positifs.
De plus,
\forall t \in \R_+^*, f(x,t)=\dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0
Et puis l’hypothèse de domination :
\forall t \in \R_+^*,\forall x \in [1,+\infty[, \left\lvert \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \right\rvert \leqslant \dfrac{e^{-t}}{t}
Or,
t\mapsto \dfrac{e^{-t}}{t}
est positive, indépendante de x, et intégrable sur les réels positifs par comparaison aux intégrales de Riemann. En effet, par croissance comparée
\dfrac{e^{-t}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)
D’après le théorème de convergence dominée dans le cadre des intégrales à paramètres, on en déduit que :
F(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0
Or,
\arctan(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}} \dfrac{\pi}{2}
On en déduit alors l’expression de F.
Ceci conclut le second exercice d’oral de CCINP !
Merci à Colin Coërchon pour la proposition de ces exercices corrigés