Exercice corrigé : Oral CCINP 2022

Voici la correction détaillée d’une planche d’exercices tombés à l’oral CCINP en 2022. Ces exercices font appel aux chapitres des endomorphismes, et plus précisément des projecteurs et aussi des intégrales à paramètres.

Exercice 1 : Algèbre

Enoncé

Corrigé

Voici la correction directement proposée par le concours CCINP :

Pour rappel, le PDF de l’ensemble des corrections du concours CCINP se trouve à ce lien. Passons maintenant au second exercice d’oral CCINP.

Exercice 2 : Analyse

Enoncé

Corrigé

Question 1

On pose f définie sur

\left(\R_+\right)^2 \mapsto \R

Telle que

f : (x,t) \longmapsto \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t}

On a :

\forall x \in \R_+, \; t \mapsto f(x,t)

est continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls.
De plus, en +∞

\forall (x,t) \in \left(\R_+\right)^2, \lvert f(x,t) \rvert \leqslant \dfrac{e^{-tx}}{t}

Et, comme x > 0 :

\dfrac{e^{-tx}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)

par croissance comparée. Par comparaison aux intégrales de Riemann, on en conclut que la fonction f est intégrable sur [1,+∞[.
En 0⁺,

f(x,t) \underset{t\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{\sin{t}}{t}

Donc,

f(x,t) = 1 + \underset{t\rightarrow  0^+}{o}(1)

On en déduit que la fonction f est prolongeable par continuité en 0. Donc, f est intégrable sur ]0,1].

Ainsi, pour tout x réel positif, la fonction

t \mapsto f(x,t) 

est intégrable sur ]0,+∞[. La fonction F est donc bien définie sur les réels positifs.

Question 2

Plusieurs points :

\forall t \in \R_+, \; x \mapsto f(x,t)

Est de classe C¹ sur les réels positifs.
De plus,

\forall (x,t) \in \left(\R_+^*\right)^2,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)= -e^{-tx}\sin{t}

D’après la question 1,

\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto f(x,t)

est intégrable sur les réels positifs.
Aussi,

\forall x \in \R_+^*, \; t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)

est continue par morceaux sur les réels positifs.
On a aussi

\forall t \in \R_+^*, \forall x \in [a,b]\subset\R_+^*,\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right\rvert = e^{-tx}\lvert\sin{t}\rvert \leqslant e^{-at}
  

On pose alors :

\varphi : t \mapsto e^{-at}

Or, φ est positive, indépendante de x, et continue par morceaux sur les réels positifs ou nuls. Et en +∞, comme a > 0,

\varphi\,(t) = \underset{t\rightarrow+\infty}{O}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)

Donc, par comparaisons aux intégrales de Riemann, φ est intégrable sur les réels positifs.. Ainsi, l’hypothèse de domination est établie.

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, on en déduit que F est de classe C¹ sur les réels positifs.

Question 3

La question précédente nous permet d’affirmer :

 \forall x \in \R_+^*, \quad F'(x)=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)~\textrm{d}t=-\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t

Ainsi, pour tout x réel positif :

    \begin{align*}
        F'(x) &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\sin{t}~\textrm{d}t \\
        &= -\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{-tx}\:\mathfrak{Im}(e^{it})~\textrm{d}t \\
        &= -\mathfrak{Im} \left(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}}e^{t(i-x)}~\textrm{d}t \right) \\
        &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{i-x}\left[e^{t(i-x)}\right] _{t\rightarrow 0}^{t \rightarrow +\infty} \right) \\
        &= -\mathfrak{Im} \left(\dfrac{1}{x-i} \right) \\
        \Rightarrow F'(x) &= -\dfrac{1}{1+x^2} 
    \end{align*}

On en déduit alors que, sur les réels postifs, F(x)=C-\arctan(x).
Il reste donc à déterminer la valeur de la constante d’intégration C. Pour cela, déterminons la limite de F en +∞. On restreint donc x dans [1,+∞[.

On a alors :

\forall x \in [1,+\infty[, \; t \mapsto f(x,t)

est continue par morceaux sur les réels positifs.
De plus,

\forall t \in \R_+^*, f(x,t)=\dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0

Et puis l’hypothèse de domination :

\forall t \in \R_+^*,\forall x \in [1,+\infty[, \left\lvert \dfrac{e^{-tx}\sin{t}}{t} \right\rvert \leqslant \dfrac{e^{-t}}{t}

Or,

t\mapsto \dfrac{e^{-t}}{t}

est positive, indépendante de x, et intégrable sur les réels positifs par comparaison aux intégrales de Riemann. En effet, par croissance comparée

\dfrac{e^{-t}}{t} = \underset{t\rightarrow+\infty}{O} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)

D’après le théorème de convergence dominée dans le cadre des intégrales à paramètres, on en déduit que :

F(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}}0

Or,

\arctan(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\xrightarrow{}} \dfrac{\pi}{2}

On en déduit alors l’expression de F.

Ceci conclut le second exercice d’oral de CCINP !

Merci à Colin Coërchon pour la proposition de ces exercices corrigés