Exercice corrigé : Probabilités de base

Nous allons corriger à la suite plusieurs exercices de probabilités de base. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours des probabilités et peut aussi aider en dénombrement.

Exercice 1

Commençons par ce premier exercice

Donnons directement la réponse : La probabilité, de manière assez surprenante, est de 1/2 ! Voici sa démonstration, qui me semble assez optimale

Sans perte de généralité, on peut dire numéroter i le siège de la ième personne qui montera dans l’avion.

Argument clé

L’argument principal est le suivant. Lorsque la dernière personne monte à bord, les seules possibilités pour les sièges vides sont le siège 1 ou le siège 100.
Pourquoi ? Si le siège attribué à la 16ème personne à embarquer est libre lorsque la dernière personne embarque, alors il était également libre lorsque la 16ème personne a embarqué. Et donc, la 16ème personne à nécessairement pris le siège 16. On aboutit donc à une contradiction ; et la même contradiction fonctionne pour toutes les autres personnes après la première personne à embarquer.

Un corollaire de cette observation est le suivant. Chaque fois qu’un passager fait un choix aléatoire, le siège 1 et le siège 100 doivent tous deux être disponibles.
En effet, si l’un de ces sièges a été occupé, et qu’un passager monte à bord et découvre qu’il doit faire un choix aléatoire entre plusieurs sièges. Dans ce cas, il y a une probabilité non nulle qu’il prenne le siège 1 ou 100 non occupé, ce qui contredit notre argument clé (puisque cela oblige le dernier passager à s’asseoir ailleurs qu’au siège 1 ou 100, une situation que nous savons maintenant impossible).

Forts de cet argument, nous voyons que le cas où le siège 100 est libre pour la dernière personne est symétrique au cas où le siège 1 est libre. Quelle pourrait être la probabilité de cela ? Chaque personne qui est montée dans l’avion et qui a dû faire un choix aléatoire avait la même probabilité de choisir le siège 1 ou 100. Cela signifie que la probabilité qu’un siège soit pris avant l’autre doit être de 1/2.

Exercice 2

Notons p_i la probabilité de faire i sur le premier dé et q_i la probabilité de faire i sur le second dé. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’on puisse avoir une probabilité uniforme. On veut que la probabilité soit uniforme sur {2,… , 12}. En notant, P(i) la probabilité de faire i avec les 2 dés, on veut

P(i) = \dfrac{1}{11}

En appliquant ceci à 2 et à 12 : On a, d’une part

P(2) = \dfrac{1}{11}=p_1q_1

Et d’autre part,

P(12) = \dfrac{1}{11}=p_6q_6

Appliquons maintenant le résultat à 7. On a :

\begin{array}{ll}
P(7) & =\dfrac{1}{11}\\
&= p_1q_6+p_2q_5+p_3q_4+p_4q_3+p_5q_2+p_6q_1\\
& \geq p_1q_6+p_6q_1
\end{array}

Or,

p_1q_6+p_6q_1=\dfrac{1}{11}\left(\dfrac{p_1}{p_6}+\dfrac{p_6}{p_1}\right)

Ce qui fait qu’en posant

X = \dfrac{p_1}{p_6}

On obtient :

\begin{array}{lll}
\dfrac{1}{11}&=&P(7)\\
\dfrac{1}{11}& \geq&\dfrac{1}{11}\left(\dfrac{p_1}{p_6}+\dfrac{p_6}{p_1}\right)\\
\dfrac{1}{11}& \geq&\dfrac{1}{11}\left(X+\dfrac{1}{X}\right)\\
\dfrac{1}{11}& \geq &\dfrac{2}{11}
\end{array}

Ce qui est une contradiction. Conclusion : on ne peut pas truquer 2 dés de manière à avoir une probabilité uniforme sur {2, …, 12}.

Ces exercices vous ont plu ?