Exercice corrigé : Majoration d’espérance

Voici un exercice corrigé détaillé démontrant certaines propriétés autour de l’espérance
carte probabilités

Voici l’énoncé d’un exercice qui va démontrer des propriétés sur l’espérance. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des probabilités. C’est un exercice de deuxième année dans le supérieur.

En voici l’énoncé :

Enoncé

Majoration d'espérance, probabilité et cardinal

Corrigé

Question 1

Soit n, un entier strictement positif. On remarque déjà que l’inégalité est vraie pour a = 0 de manière assez évidente, puisque les variables aléatoires considérées sont à valeurs positives.
On suppose donc a entier non nul jusqu’à la fin de cette question et, on pose :

E_n = \left\{ X_k ,\;  1\leq k \leq n\right\},\quad F_n = E_n \cap[\![1,a]\!],\quad G_n = E_n\cap\left\{ X_k,\; X_k > a\right\}

De telle sorte que :

E_n = F_n\sqcup G_n  \quad \text{ et donc,} \quad R_n = \text{Card}(E_n) = \text{Card}(F_n) + \text{Card}(G_n)

Cependant,

\text{Card}(F_n) \leq a \quad \text{et} \quad \text{Card}(G_n) \leq \sum_{k=1}^{n}\mathbb{\bold{1}}_{(X_k\geq a)}

Donc,

R_n \leq a\;+\;\sum_{k=1}^{n}\bold{1}_{(X_k\geq a)}

En passant à l’espérance, et puisque toutes les variables aléatoires considérées sont de même loi :

E(R_n) \leq a + \sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(X_k\geq a) = a\,+\,  n\mathbb{P}(X_1\geq a)

Ceci est alors vérifié pour tout entier naturel a, c’est ce qu’on voulait.

Question 2

Au vue de la question, on réécrit l’inégalité obtenue précédemment :

\forall a\in\mathbb{N}, \quad 0 \leq \frac{\mathbb{E}(R_n)}{n} \leq \frac an + \mathbb{P}(X_1\geq a)

En particulier,

0\leq \frac{\mathbb{E}(R_n)}{n} \leq \frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor }{n}+\mathbb{P}(X_1\geq \lfloor \sqrt{n} \rfloor )

On pose alors,

\forall n \in\mathbb N^*, \quad A_n = (X_1\geq\lfloor \sqrt{n} \rfloor) \quad\text{et} \quad u_n=\mathbb{P}(A_n)

Or,

\forall n \in \mathbb N^*,\; A_{n} \subseteq A_{n+1} \quad \text{donc} \quad \underset{n\rightarrow+\infty}{\lim} \downarrow u_n = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n\geq1}A_n\right)

Notre variable aléatoire possède une valeur nécessairement comprise entre deux entiers, cette dernière probabilité est nulle.

De plus,

\frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0

Finalement,

\frac{\mathbb{E}(R_n)}{n} \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0 \Longleftrightarrow \mathbb{E}(R_n)=\underset{n\rightarrow+\infty}{\text{o}}(n)

Question 3

Pour cette question on passera par deux lemmes : le premier est laissé en exercice, le second a déjà été démontré à l’exercice 3 de cet article.

\text{Si} \; (u_n)\;\text{est une suite positive, décroissante telle que}\; \sum u_n \; \text{converge, alors} \; u_n = \text{o}(1/n).
\mathbb{E}(X)<+\infty \; \Longleftrightarrow \sum_{n\geq0}\mathbb{P}(X\geq n) \;\;\text{converge et alors} \;\; \mathbb{E}(X) = \sum_{n\geq0}\mathbb{P}(X\geq n)

On commence par réécrire l’inégalité obtenue à la question 1 :

\forall a\in\mathbb{N}, \quad 0 \leq \frac{\mathbb{E}(R_n)}{\sqrt{n}} \leq \frac{a}{\sqrt{n}} + \sqrt{n}\;\mathbb{P}(X_1\geq a)

On reprend notre suite de tout à l’heure :

(u_a)_{a\in\mathbb{N}} \, \text{est décroissante, positive et, par le second lemme :}\; \sum_{a=1}^{+\infty} u_a \; \text{converge}

Notre suite vérifie donc les conditions du premier lemme on en déduit que,

u_a = \underset{a\rightarrow+\infty}{\text{o}}(1/a)

Prenons ε > 0,

\text{On injecte}\;  a = \lfloor\varepsilon\sqrt{n} \;\rfloor \; \text{dans l'inégalité précédente.}

On se retrouve avec :

0 \leq \frac{\mathbb{E}(R_n)}{\sqrt{n}} \leq \frac{\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}\;\mathbb{P}\left(X_1\geq\lfloor \varepsilon\sqrt{n}\rfloor \right) 

Or,

\sqrt{n}\;\mathbb{P}\left(X_1\geq\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor \right) = \underset{n\rightarrow+\infty}{\text{o}}\left(\frac{\sqrt{n}}{\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor}\right) = \underset{n\rightarrow+\infty}{\text{o}}(1)

Et puisque,

\frac{\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor}{\sqrt{n}} \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \varepsilon

Alors,

\exists N_0\in\mathbb{N^*}, \forall n \geq N_0,\quad \frac{\mathbb{E}(R_n)}{\sqrt{n}}\leq\frac{\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}\mathbb{P}\left(X_1\geq\lfloor \varepsilon\sqrt{n} \rfloor \right) \leq 2\varepsilon

En particulier, si on fait tendre ε vers 0, on obtient

\frac{\mathbb{E}(R_n)}{\sqrt{n}} \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0 \Longleftrightarrow \mathbb{E}(R_n) = \underset{n\rightarrow+\infty}{\text{o}}(\sqrt{n})

Ce qui conclut notre question et donc cet exercice de majoration d’espérance !
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