La fonction tangente : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur la fonction tangente : Définition, ensemble de définition, graphe, propriétés, parité, périodicité et des exercices corrigés.
Fonction tangente

Dans cet article, nous allons vous présenter la fonction tangente avec ses propriétés les plus importantes. Nous allons aussi corriger quelques exercices autour de cette fonction usuelle

Prérequis

Définition de la fonction tangente

La fonction tangente peut être définie de deux manières différentes. D’abord, on peut la définir grâce au cercle trigonométrique, en disant que c’est la pente de la droite qui relie le centre du cercle trigonométrique à un point précis du cercle trigonométrique. On le mesure grâce à l’abscisse du point A dans le graphe ci-dessous

Définition de la fonction tangente à l'aide du cercle trigonométrique

On peut aussi définir, et évidemment ces deux définitions sont équivalentes, la fonction tangente grâce aux fonctions sinus et cosinus. La fonction tangente, notée \tan est définie par \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

Son ensemble de définition est \R \backslash \{ n\pi + \dfrac{\pi}{2}, n \in \Z \}. Voici son graphe :

Fonction tangente

Propriétés

Voici les propriétés de base de la fonction tangente :

  • Elle est \pi-périodique, donc avec une période 2 fois plus courte que sinus et cosinus.
  • Elle est impaire
  • Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition

Dérivée de la fonction tangente

Sur son ensemble de définition, la dérivée de la fonction tangente peut s’écrire sous les deux formes suivantes :

\tan'(x) = 1+\tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}

On obtient donc une relation entre tangente et cosinus, qu’on peut réutiliser dans d’autres contextes.

Asymptotes et limites

On a une infinité d’asymptotes verticales d’équation x = n\pi + \dfrac{\pi}{2}, n \in \Z .

De plus, on a

  • \displaystyle \lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x)= +\infty
  • \displaystyle \lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan(x)= -\infty

Les formules importantes à connaitre

Voici la liste de toutes les formules à connaitre concernant la fonction tangente :

  • \tan(a+b)= \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}
  • \tan(a-b)= \dfrac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}
  • \tan(a)+\tan(b)= \dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}
  • \tan(2a)= \dfrac{2\tan(a)}{1- \tan^2(a)}
  • \tan\left(\frac{a}{2}\right)= \dfrac{\sin(a)}{1+\cos(a)}=\dfrac{1-\cos(a)}{\sin(a)}
  • \tan(a)= \tan(b) \iff \exists k \in \Z, a = b + k\pi

Je vous invite aussi à aller voir les formules du demi-angle de la tangente

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Déterminer la limite en 0 de \dfrac{\tan(x)}{x}

Corrigé : On reconnait un taux d’accroissement, on peut écrire \dfrac{\tan(x)}{x}= \dfrac{\tan(x)-\tan(0)}{x-0}. On a donc \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\tan(x)-\tan(0)}{x-0} = \tan'(0) = 1+\tan^2(0) = 1

Exercice 2

Enoncé : Démontrer les formules de la dérivée de la fonction tangente

Corrigé : Ecrivons \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} et dérivons à l’aide des formules des dérivées. On a \tan'(x) = \dfrac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x) (-\sin(x))}{\cos^2(x)}= \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

D’une part, on a \cos^2(x)) + \sin^2(x) = 1 , et on retrouve donc \tan'(x) = \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \dfrac{1}{\cos^2(x)}.

D’autre part, en décomposant le numérateur, on a \tan'(x) = \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}= 1+\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2= 1 + \tan^2(x).

Exercice 3

Enoncé : Résoudre sur ]-\pi, \pi l’équation -\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = 0

Corrigé : Réécrivons l’équation pour avoir x d’un seul côté :

-\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = 0 \iff \cos(x) = \sqrt{3}\sin(x) \iff \tan(x) =\dfrac{1}{\sqrt(3)}

Sur \left[ - \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right], on a une première solution :\dfrac{\pi}{6}. Comme la fonction tangente est \pi-périodique, on a alors une seconde solution sur l’intervalle recherché : \dfrac{\pi}{6}- \pi = -\dfrac{5\pi}{6}.

L’ensemble des solutions est donc \{ - \dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{\pi}{6}\}

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