Dans cet article, nous allons vous présenter la fonction tangente avec ses propriétés les plus importantes. Nous allons aussi corriger quelques exercices autour de cette fonction usuelle
Prérequis
- Les fonctions sinus et cosinus
Définition de la fonction tangente
La fonction tangente peut être définie de deux manières différentes. D’abord, on peut la définir grâce au cercle trigonométrique, en disant que c’est la pente de la droite qui relie le centre du cercle trigonométrique à un point précis du cercle trigonométrique. On le mesure grâce à l’abscisse du point A dans le graphe ci-dessous
On peut aussi définir, et évidemment ces deux définitions sont équivalentes, la fonction tangente grâce aux fonctions sinus et cosinus. La fonction tangente, notée \tan est définie par \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
Son ensemble de définition est \R \backslash \{ n\pi + \dfrac{\pi}{2}, n \in \Z \}. Voici son graphe :
Propriétés
Voici les propriétés de base de la fonction tangente :
- Elle est \pi-périodique, donc avec une période 2 fois plus courte que sinus et cosinus.
- Elle est impaire
- Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition
Dérivée de la fonction tangente
Sur son ensemble de définition, la dérivée de la fonction tangente peut s’écrire sous les deux formes suivantes :
\tan'(x) = 1+\tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}On obtient donc une relation entre tangente et cosinus, qu’on peut réutiliser dans d’autres contextes.
Asymptotes et limites
On a une infinité d’asymptotes verticales d’équation x = n\pi + \dfrac{\pi}{2}, n \in \Z .
De plus, on a
- \displaystyle \lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x)= +\infty
- \displaystyle \lim_{ x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan(x)= -\infty
Les formules importantes à connaitre
Voici la liste de toutes les formules à connaitre concernant la fonction tangente :
- \tan(a+b)= \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}
- \tan(a-b)= \dfrac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}
- \tan(a)+\tan(b)= \dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}
- \tan(2a)= \dfrac{2\tan(a)}{1- \tan^2(a)}
- \tan\left(\frac{a}{2}\right)= \dfrac{\sin(a)}{1+\cos(a)}=\dfrac{1-\cos(a)}{\sin(a)}
- \tan(a)= \tan(b) \iff \exists k \in \Z, a = b + k\pi
Je vous invite aussi à aller voir les formules du demi-angle de la tangente
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Déterminer la limite en 0 de \dfrac{\tan(x)}{x}
Corrigé : On reconnait un taux d’accroissement, on peut écrire \dfrac{\tan(x)}{x}= \dfrac{\tan(x)-\tan(0)}{x-0}. On a donc \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\tan(x)-\tan(0)}{x-0} = \tan'(0) = 1+\tan^2(0) = 1
Exercice 2
Enoncé : Démontrer les formules de la dérivée de la fonction tangente
Corrigé : Ecrivons \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} et dérivons à l’aide des formules des dérivées. On a \tan'(x) = \dfrac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x) (-\sin(x))}{\cos^2(x)}= \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
D’une part, on a \cos^2(x)) + \sin^2(x) = 1 , et on retrouve donc \tan'(x) = \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \dfrac{1}{\cos^2(x)}.
D’autre part, en décomposant le numérateur, on a \tan'(x) = \dfrac{\cos^2(x)) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}= 1+\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2= 1 + \tan^2(x).
Exercice 3
Enoncé : Résoudre sur ]-\pi, \pi l’équation -\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = 0
Corrigé : Réécrivons l’équation pour avoir x d’un seul côté :
-\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = 0 \iff \cos(x) = \sqrt{3}\sin(x) \iff \tan(x) =\dfrac{1}{\sqrt(3)}Sur \left[ - \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right], on a une première solution :\dfrac{\pi}{6}. Comme la fonction tangente est \pi-périodique, on a alors une seconde solution sur l’intervalle recherché : \dfrac{\pi}{6}- \pi = -\dfrac{5\pi}{6}.
L’ensemble des solutions est donc \{ - \dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{\pi}{6}\}
