Dans cet article, nous allons définir les lois de De Morgan, qui s’avèrent très utiles en logique
Définition
Définition des 2 lois de De Morgan
Soient A et B deux propositions.
Nous pouvons définir 2 lois de De Morgan. Voici la première :
\lnot( {A \text{ ou } B} )\leftrightarrow ( \lnot {A}\text{ et }\lnot {B})Cela signifie donc que “Non (A ou B)” est identique à “(Non A) et (Non B)”. Et voici la seconde :
\lnot (A \text{ et } B) \leftrightarrow (\lnot {A}\text{ ou } \lnot {B})Ce qui signifie cette fois que “Non (A et B)” est identique à “(Non A) ou (Non B)”
Généralisation
Cette loi se généralise avec n termes : soient A_1, \ldots, A_n n propositions. On a alors
\lnot( {A_1 \text{ ou } A_2 \text{ ou } \ldots\text{ ou }A_n} )\leftrightarrow ( \lnot A_1 \text{ et }\lnot A_2 \text{ et } \ldots \text{ et } \lnot \overline{A_n})Et la seconde loi :
\lnot( {A_1 \text{ et } A_2 \text{ et } \ldots\text{ et }A_n} )\leftrightarrow ( \lnot {A_1}\text{ ou } \lnot A_2 \text{ ou } \ldots \text{ ou } \lnot {A_n})Démonstration avec les tables de vérité
Voici la table de vérité pour la première loi de De Morgan
| A | B | A ou B | non(A ou B) | non A | non B | (non A) et (non B) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Et voici la table de vérité pour la seconde loi de De Morgan :
| A | B | A et B | non(A et B) | non A | non B | (non A) ou (non B) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Lois de De Morgan sur les ensembles
On a quelque chose d’équivalent avec l’union et l’intersection pour les ensembles. Soient A et B deux ensembles :
- Première loi : \forall A,B, {}^C (A \cup B)= {}^C A \cap {}^C B
- Seconde loi : {}^C (A \cap B) = {}^C A \cup {}^C B .
