Arccos, Arcsin et Arctan : Cours et exercices corrigés

Les fonctions arccos, arcsin et arctan font partie des fonctions usuelles. Il est intéressant de connaitre ces fonctions ou au moins de savoir retrouver les résultats importants.

Prérequis

• Les fonctions sinus et cosinus
• La fonction tangente
• La méthode de la calcul de la dérivée d’une fonction réciproque
• L’intégration par parties

Définition de Arccos, Arcsin et Arctan

Arccos

On définit \arccos : [-1;1] \to [0,\pi] comme la réciproque de la fonction \cos définie sur [0, \pi] et vérifiant donc la formule \forall x \in [0; \pi ], \arccos(\cos(x))= x.

Voici son graphe :

Arcsin

On définit \arcsin : [-1;1] \to \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] comme la réciproque de la fonction \sin définie sur \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] et vérifiant donc la formule \forall x \in \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], \arcsin(\sin(x))= x.

Voici son graphe :

Arctan

On définit \arctan : \R \to \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] comme la réciproque de la fonction \tan définie sur \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] et vérifiant donc la formule \forall x \in \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], \arctan(\tan(x))= x.

Voici son graphe :

Propriétés

Voici quelques propriétés importantes à retenir, surtout les deux dernières :

• \forall x \in [-1;1], \arccos(-x) = \pi - \arccos(x); \arcsin(-x) = -\arcsin(x); \arctan(-x) = -\arctan(x)
• \forall x \in [-1;1], \sin(\arccos(x)) = \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}
• \forall x \in [-1;1], \tan(\arcsin(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}
• \forall x \in [-1;1], \arccos(x) + \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}
• \forall x \in \R_+^*, \arctan(x) + \arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{\pi}{2}

Limites et monotonie

Voici les limites des fonctions arccos, arcsin et arctan à leurs bornes ainsi que leur monotonie. On a :

• \arccos(-1) = \pi; \arccos(1) = 0 . De plus, la fonction \arccos est strictement décroissante sur son ensemble de définition
• \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2}; \arccos(1) = \dfrac{\pi}{2} . De plus, la fonction \arcsin est strictement croissante sur son ensemble de définition
• \displaystyle \lim_{x \to - \infty}\arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}; \lim_{x \to + \infty}\arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} . De plus, la fonction \arctan est strictement croissante sur son ensemble de définition

Dérivée des fonctions réciproques

Les fonctions Arccos, Arctan et Arcsin sont dérivables et ont pour dérivée :

• \arccos'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
• \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
• \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}

Vous pouvez retrouver la démonstration de ces dérivées dans cet article

Primitives des fonctions réciproques

Les fonctions Arccos, Arctan et Arcsin sont intégrables et ont pour primitive :

• \displaystyle \int \arccos(x)dx =x \arccos(x) - \sqrt{1-x^2}+C
• \displaystyle \int \arcsin(x)dx = x \arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+C
• \displaystyle \int \arctan(x)dx = x \arctan(x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) +C

Pour calculer ces primitives, il suffit de faire une intégration par parties :

Développements limités

Nous avons un article dédié au développement limité et on les a exprimés pour ces fonctions :

Exercices corrigés

Exercice 1201

Enoncé :

Corrigé : Question 1 : Sur \left] 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right[ , on a \cos(x) > 0 ; \sin(x) > 0 .

De cette manière, on peut écrire :

\cos(x) = \sqrt{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}

On a utilisé \tan' (x)= \dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x) . Et on a aussi :

\sin(x) = \tan(x) \cos(x) = \dfrac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}

Question 2 : On a : \dfrac{3}{4} < 1 ; \dfrac{5}{12} < 1 . Or, \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} . Ainsi, \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) < \arctan(1)= \dfrac{\pi}{4} ; \arctan \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{4} .

D’où \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}, ce qui est le résultat recherché.

Question 3 : Comme \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{2}, on a \arcsin(\sin(x)) = x . Ainsi,

\begin{array}{ll}
x & = \sin\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right) +\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)\\
 & = \sin\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right) \\& + \sin\left(\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right)\\
 & = \dfrac{\tan\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right)\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)}} \\& + \dfrac{\tan\left(\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left( \frac{5}{12}\right)\right)}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)}}\\
&=\dfrac{\frac{5}{12}}{\sqrt{1+\frac{5^2}{12^2}}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{3^2}{4^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{5^2}{12^2}}}\dfrac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\frac{3^2}{4^2}}}\\
&=\dfrac{5}{12\sqrt{\frac{169}{12^2}}}\dfrac{1}{\sqrt{\frac{25}{4^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\frac{169}{12^2}}}\dfrac{3}{4\sqrt{\frac{25}{4^2}}}\\
&=\dfrac{5}{13}\dfrac{4}{5}+\dfrac{12}{13}\dfrac{3}{5}\\
&= \dfrac{56}{60}\\
x&= \dfrac{14}{15}\\
\end{array}

Exercice 1202

Enoncé :

Corrigé : Question 1 : La fonction \arccos est décroissante. Or, 1 > \dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos \dfrac{\pi}{4} . Ainsi [/katex] 0 = \arccos (1) < \arccos \left( \dfrac{3}{4} \right) < \dfrac{\pi}{4}= \arccos \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) [/katex]

Question 2 : D’après la question 1, on a 0 < 2\arccos \left( \dfrac{3}{4} \right) < \dfrac{\pi}{2} . D’où :

\begin{array}{ll}
x  & = \cos(\arccos(x)) \\
&= \cos\left(2 \arccos\left( \dfrac{3}{4}\right)\right)\\
&= 2\cos^2\left( \arccos\left( \dfrac{3}{4}\right)\right)-1\\
&= 2\dfrac{3^2}{4^2}-1\\
&= \dfrac{9}{8}-1\\
&= \dfrac{1}{8}
\end{array}

Exercice 1188

Enoncé :

Corrigé en vidéo :