Les fonctions arccos, arcsin et arctan font partie des fonctions usuelles. Il est intéressant de connaitre ces fonctions ou au moins de savoir retrouver les résultats importants.
Prérequis
- Les fonctions sinus et cosinus
- La fonction tangente
- La méthode de la calcul de la dérivée d’une fonction réciproque
- L’intégration par parties
Définition de Arccos, Arcsin et Arctan
Arccos
On définit \arccos : [-1;1] \to [0,\pi] comme la réciproque de la fonction \cos définie sur [0, \pi] et vérifiant donc la formule \forall x \in [0; \pi ], \arccos(\cos(x))= x.
Voici son graphe :
Arcsin
On définit \arcsin : [-1;1] \to \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] comme la réciproque de la fonction \sin définie sur \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] et vérifiant donc la formule \forall x \in \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], \arcsin(\sin(x))= x.
Voici son graphe :
Arctan
On définit \arctan : \R \to \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] comme la réciproque de la fonction \tan définie sur \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] et vérifiant donc la formule \forall x \in \left[ - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], \arctan(\tan(x))= x.
Voici son graphe :
Propriétés
Voici quelques propriétés importantes à retenir, surtout les deux dernières :
- \forall x \in [-1;1], \arccos(-x) = \pi - \arccos(x); \arcsin(-x) = -\arcsin(x); \arctan(-x) = -\arctan(x)
- \forall x \in [-1;1], \sin(\arccos(x)) = \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}
- \forall x \in [-1;1], \tan(\arcsin(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}
- \forall x \in [-1;1], \arccos(x) + \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}
- \forall x \in \R_+^*, \arctan(x) + \arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{\pi}{2}
Limites et monotonie
Voici les limites des fonctions arccos, arcsin et arctan à leurs bornes ainsi que leur monotonie. On a :
- \arccos(-1) = \pi; \arccos(1) = 0 . De plus, la fonction \arccos est strictement décroissante sur son ensemble de définition
- \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2}; \arccos(1) = \dfrac{\pi}{2} . De plus, la fonction \arcsin est strictement croissante sur son ensemble de définition
- \displaystyle \lim_{x \to - \infty}\arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}; \lim_{x \to + \infty}\arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} . De plus, la fonction \arctan est strictement croissante sur son ensemble de définition
Dérivée des fonctions réciproques
Les fonctions Arccos, Arctan et Arcsin sont dérivables et ont pour dérivée :
- \arccos'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
- \arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
- \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}
Vous pouvez retrouver la démonstration de ces dérivées dans cet article
Primitives des fonctions réciproques
Les fonctions Arccos, Arctan et Arcsin sont intégrables et ont pour primitive :
- \displaystyle \int \arccos(x)dx =x \arccos(x) - \sqrt{1-x^2}+C
- \displaystyle \int \arcsin(x)dx = x \arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+C
- \displaystyle \int \arctan(x)dx = x \arctan(x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) +C
Pour calculer ces primitives, il suffit de faire une intégration par parties :
Développements limités
Nous avons un article dédié au développement limité et on les a exprimés pour ces fonctions :
Exercices corrigés
Exercice 1201
Enoncé :
Corrigé : Question 1 : Sur \left] 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right[ , on a \cos(x) > 0 ; \sin(x) > 0 .
De cette manière, on peut écrire :
\cos(x) = \sqrt{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}On a utilisé \tan' (x)= \dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x) . Et on a aussi :
\sin(x) = \tan(x) \cos(x) = \dfrac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}Question 2 : On a : \dfrac{3}{4} < 1 ; \dfrac{5}{12} < 1 . Or, \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} . Ainsi, \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) < \arctan(1)= \dfrac{\pi}{4} ; \arctan \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{4} .
D’où \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}, ce qui est le résultat recherché.
Question 3 : Comme \arctan \left( \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{5}{12} \right) < \dfrac{\pi}{2}, on a \arcsin(\sin(x)) = x . Ainsi,
\begin{array}{ll}
x & = \sin\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right) +\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)\\
& = \sin\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right) \\& + \sin\left(\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right)\\
& = \dfrac{\tan\left(\arctan\left( \frac{3}{4}\right)\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)}} \\& + \dfrac{\tan\left(\arctan \left(\frac{5}{12}\right)\right)}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left( \frac{5}{12}\right)\right)}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)}}\\
&=\dfrac{\frac{5}{12}}{\sqrt{1+\frac{5^2}{12^2}}}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{3^2}{4^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{5^2}{12^2}}}\dfrac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\frac{3^2}{4^2}}}\\
&=\dfrac{5}{12\sqrt{\frac{169}{12^2}}}\dfrac{1}{\sqrt{\frac{25}{4^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\frac{169}{12^2}}}\dfrac{3}{4\sqrt{\frac{25}{4^2}}}\\
&=\dfrac{5}{13}\dfrac{4}{5}+\dfrac{12}{13}\dfrac{3}{5}\\
&= \dfrac{56}{60}\\
x&= \dfrac{14}{15}\\
\end{array}Exercice 1202
Enoncé :
Corrigé : Question 1 : La fonction \arccos est décroissante. Or, 1 > \dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos \dfrac{\pi}{4} . Ainsi [/katex] 0 = \arccos (1) < \arccos \left( \dfrac{3}{4} \right) < \dfrac{\pi}{4}= \arccos \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) [/katex]
Question 2 : D’après la question 1, on a 0 < 2\arccos \left( \dfrac{3}{4} \right) < \dfrac{\pi}{2} . D’où :
\begin{array}{ll}
x & = \cos(\arccos(x)) \\
&= \cos\left(2 \arccos\left( \dfrac{3}{4}\right)\right)\\
&= 2\cos^2\left( \arccos\left( \dfrac{3}{4}\right)\right)-1\\
&= 2\dfrac{3^2}{4^2}-1\\
&= \dfrac{9}{8}-1\\
&= \dfrac{1}{8}
\end{array}Exercice 1188
Enoncé :
Corrigé en vidéo :
