Théorème de Heine : Enoncé et démonstration

Dans cet article, découvrez l’énoncé et la démonstration du théorème de Heine, un théorème incontournable de l’analyse
Théorème de Heine

Dans cet article, nous allons vous énoncer et démontrer le théorème de Heine, un théorème très important en analyse concernant la continuité uniforme. Allez c’est parti !

Enoncé du théorème de Heine

On peut l’énoncer comme suit : Toute application continue de [a;b] dans \R est uniformément continue.

Démonstration du théorème de Heine

Nous allons démontrer le résultat par l’absurde. Tout d’abord, avec des quantificateurs, voici comme on écrit l’uniforme continuité :

\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0, \forall (x,y) \in [a;b],|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y) | < \varepsilon

Ecrivons maintenant le contraire de cette proposition, en supposant que f n’est pas uniformément continue :

\exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0, \exists (x,y) \in [a;b],|x-y| < \delta \wedge |f(x) - f(y) | > \varepsilon

On va utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée (donc sur [a;b] par exemple) admet une sous-suite convergente.

On va maintenant prendre \delta = \dfrac{1}{n} . On va alors pouvoir trouver x_n et y_n deux suites de [a;b] telles que |x_n- y_n| < \dfrac{1}{n} et |f(x_n) - f(y_n) |> \varepsilon .

Maintenant, la suite (x_n) admet une sous-suite convergente x_{\varphi(n)} dont la limite sera notée l \in [a;b]. On a alors :

|x_{\varphi(n)}- y_{\varphi(n)}| < \dfrac{1}{\varphi(n)}\iff x_{\varphi(n)} -  \dfrac{1}{\varphi(n)} < y_{\varphi(n)} < x_{\varphi(n)} +  \dfrac{1}{\varphi(n)}

Donc par encadrement, la suite y_{\varphi(n)} converge aussi vers l.

Comme ces deux sous-suite convergent vers l et qu’on a |f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) | > \varepsilon, cela contredit l’hypothèse de continuité de f.

Donc nécessairement, f est uniformément continue. On a démontré le théorème de Heine.

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