Dans cet article, nous allons vous énoncer et démontrer le théorème de Heine, un théorème très important en analyse concernant la continuité uniforme. Allez c’est parti !
Enoncé du théorème de Heine
On peut l’énoncer comme suit : Toute application continue de [a;b] dans \R est uniformément continue.
Démonstration du théorème de Heine
Nous allons démontrer le résultat par l’absurde. Tout d’abord, avec des quantificateurs, voici comme on écrit l’uniforme continuité :
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0, \forall (x,y) \in [a;b],|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y) | < \varepsilon
Ecrivons maintenant le contraire de cette proposition, en supposant que f n’est pas uniformément continue :
\exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0, \exists (x,y) \in [a;b],|x-y| < \delta \wedge |f(x) - f(y) | > \varepsilon
On va utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée (donc sur [a;b] par exemple) admet une sous-suite convergente.
On va maintenant prendre \delta = \dfrac{1}{n} . On va alors pouvoir trouver x_n et y_n deux suites de [a;b] telles que |x_n- y_n| < \dfrac{1}{n} et |f(x_n) - f(y_n) |> \varepsilon .
Maintenant, la suite (x_n) admet une sous-suite convergente x_{\varphi(n)} dont la limite sera notée l \in [a;b]. On a alors :
|x_{\varphi(n)}- y_{\varphi(n)}| < \dfrac{1}{\varphi(n)}\iff x_{\varphi(n)} - \dfrac{1}{\varphi(n)} < y_{\varphi(n)} < x_{\varphi(n)} + \dfrac{1}{\varphi(n)}Donc par encadrement, la suite y_{\varphi(n)} converge aussi vers l.
Comme ces deux sous-suite convergent vers l et qu’on a |f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) | > \varepsilon, cela contredit l’hypothèse de continuité de f.
Donc nécessairement, f est uniformément continue. On a démontré le théorème de Heine.
