Lorsqu’on commence à faire des statistiques en plusieurs dimensions, les vecteurs gaussiens s’avèrent être une notion utile. Découvrez dans cet article leur définition et leurs principales propriétés
Prérequis
Définition d’un vecteur gaussien
Soit X un vecteur aléatoire dans \R^n . X est dit gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes avec une variable aléatoire gaussienne (qui suit donc une loi normale). Autrement dit \forall (a_1, \ldots, a_n) \in \R^n, Z = a_1X_1 + \ldots + a_nX_n est une variable aléatoire gaussienne.
On définit son espérance par :
\mathbb{E}(X) = \begin{pmatrix} \mathbb{E}(X_1) \\ \vdots \\ \mathbb{E} (X_n) \end{pmatrix} On définit sa matrice de variance-covariance par :
V(X) = \mathbb{E} ((X-\mathbb{E}(X)){}^t (X-\mathbb{E}(X) ) c’est donc une matrice carrée de taille n. Elle est même symétrique et on a en fait :
V(X)_{i,j} = cov(X_i,X_j)Propriétés d’un vecteur gaussien
Fonction caractéristique d’un vecteur gaussien
Si on note m = \mathbb{E}(X) et \Sigma = V(X) alors on a
\forall u \in \R^n , \varphi_X(u) = \mathbb{E}[\exp(i{}^tuX)] =\exp(i{}^t u m - {}^t u \Sigma u) La loi de u est donc totalement caractérisée par m et \Sigma. On peut donc avoir la notation X \sim \mathcal{N}(m, \Sigma)
Linéarité du vecteur gaussien
Soit A \in M_{d,n}(\R) et b \in \R^d alors AX + b est encore un vecteur gaussien et AX+b \sim \mathcal{N}(Am+b, {}^t A \Sigma A )
Densité
Si \det(\Sigma) \neq 0 , un vecteur gaussien a pour densité
\forall x \in \R^n, f(x) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n \dfrac{1}{\sqrt{\det(\Sigma)}}\exp\left(-\dfrac{{}^t(x-m)\Sigma^{-1}(x-m)}{2} \right)Théorème central limite vectoriel vectorielle
De toutes les propriétés écrites plus haut, on peut tirer un théorème central en version vectorielle. Soient X_1, \ldots, X_n des vecteurs aléatoires indépendants de \R^d tels que \mathbb{E}(X_1^2(j)) < + \infty. Soit m = \mathbb{E}(X_1) et \Sigma alors on a :
\displaystyle \sqrt{n} \left(\dfrac{X_1 + \ldots + X_n}{n} -m \right) \longrightarrow_{n \to+\infty}^{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, \Sigma)
