Vecteur Gaussien : Cours et propriétés

Qu’est-ce qu’un vecteur gaussien ? Découvrez cette notion utile lorsqu’on fait des statistiques en plusieurs dimensions !
Vecteur gaussien

Lorsqu’on commence à faire des statistiques en plusieurs dimensions, les vecteurs gaussiens s’avèrent être une notion utile. Découvrez dans cet article leur définition et leurs principales propriétés

Prérequis

Définition d’un vecteur gaussien

Soit X un vecteur aléatoire dans \R^n . X est dit gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes avec une variable aléatoire gaussienne (qui suit donc une loi normale). Autrement dit \forall (a_1, \ldots, a_n) \in \R^n, Z = a_1X_1 + \ldots + a_nX_n est une variable aléatoire gaussienne.

On définit son espérance par :

\mathbb{E}(X) = \begin{pmatrix} \mathbb{E}(X_1) \\ \vdots \\ \mathbb{E} (X_n) \end{pmatrix} 

On définit sa matrice de variance-covariance par :

V(X) = \mathbb{E} ((X-\mathbb{E}(X)){}^t (X-\mathbb{E}(X)  ) 

c’est donc une matrice carrée de taille n. Elle est même symétrique et on a en fait :

V(X)_{i,j} = cov(X_i,X_j)

Propriétés d’un vecteur gaussien

Fonction caractéristique d’un vecteur gaussien

Si on note m = \mathbb{E}(X) et \Sigma = V(X) alors on a

\forall u \in \R^n , \varphi_X(u) = \mathbb{E}[\exp(i{}^tuX)] =\exp(i{}^t u m - {}^t u \Sigma u) 

La loi de u est donc totalement caractérisée par m et \Sigma. On peut donc avoir la notation X \sim \mathcal{N}(m, \Sigma)

Linéarité du vecteur gaussien

Soit A \in M_{d,n}(\R) et b \in \R^d alors AX + b est encore un vecteur gaussien et AX+b \sim \mathcal{N}(Am+b, {}^t A \Sigma A )

Densité

Si \det(\Sigma) \neq 0 , un vecteur gaussien a pour densité

\forall x \in \R^n, f(x) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n \dfrac{1}{\sqrt{\det(\Sigma)}}\exp\left(-\dfrac{{}^t(x-m)\Sigma^{-1}(x-m)}{2} \right)

Théorème central limite vectoriel vectorielle

De toutes les propriétés écrites plus haut, on peut tirer un théorème central en version vectorielle. Soient X_1, \ldots, X_n des vecteurs aléatoires indépendants de \R^d tels que \mathbb{E}(X_1^2(j)) < + \infty. Soit m = \mathbb{E}(X_1) et \Sigma alors on a :

\displaystyle \sqrt{n} \left(\dfrac{X_1 + \ldots + X_n}{n} -m \right) \longrightarrow_{n \to+\infty}^{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, \Sigma)
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