Une application linéaire apparaît entre deux espaces vectoriels fixés u : E \to F. Elle laisse une structure sur les sous-espaces vectoriels de chacun. Nous explorons aujourd’hui quelques facettes des restrictions d’application linéaire.
Prérequis
Restriction
Si u \in L(E,F) et E' un sous-espace vectoriel de E, on appelle restriction de u à E', l’application linéaire suivante,
\begin{align*}
u_{|E'}: \ & E' \to F \\
& v \mapsto u(v).
\end{align*}Avec un peu de recul, si l’on se fixe un sous-espace vectoriel E', la restriction en elle-même est une application linéaire,
\begin{align*}
\Theta : L(E,F) & \to L(E',F) \\
u & \mapsto u_{|E'}.
\end{align*}Démonstration,
\begin{align*}
\Theta(u + \lambda u') & = (u + \lambda u')_{|E'} \\
&
= \begin{cases}\ & E' \to F \\
& x \mapsto (u + \lambda u')(x) \end{cases} \\
& = \begin{cases} \ & E' \to F \\
& x \mapsto u(x) + \lambda u(x) \end{cases} \\
& = u_{|E'} + \lambda v_{|E'} \\
& = \Theta(u ) + \lambda \Theta( u') \in L(E',F).
\end{align*}Corestriction
Si u \in L(E,F) et F' un sous-espace vectoriel de F, sous l’hypothèse importante que u(E) \subset F', on appelle corestriction de u à F'
\begin{align*}
u^{|F'}: \ & E \to F' \\
& v \mapsto u(v).
\end{align*}La corestriction la plus intuitive est celle d’une application linéaire sur son image.
Exemple : La multiplication par un polynôme \phi_P(Q) = P.Q, \phi_P: \mathbb K[X] \to \mathbb K[X] peut se corestreindre à son image P.\mathbb K[X] = \{P(X).T(X) | T(X) \in \mathbb K[X]\}.
La corestriction à cause de son hypothèse n’est pas une application linéaire L(E,F) \to L(E,F') en général. Toutefois, on peut restreindre la corestriction pour obtenir une application linéaire !
Soit F' un sous-espace vectoriel de F . Notons
L(E,F)_{(F')} := \{ u \in L(E,F) | u(E) \subset F' \}, \\
\text{(la notation est non conventionnelle)}C’est un sous-espace vectoriel de L(E,F). La corestriction considérée sur l’espace vectoriel le permettant est une application linéaire,
\begin{align*}
\Xi : L(E,F)_{(F')} & \to L(E, F') \\
u & \mapsto u^{|F'}.
\end{align*}Combinons les deux
Souvent, les applications restreintes sont sous-entendues également corestreintes sur l’image du sous-espace vectoriel, et on note juste u_{|E},
u_{|E}: E \to u(E).Exemple: La dérivation de d: \mathbb K[X] \to \mathbb K[X], P \mapsto d(P) = P' peut se restreindre aux sous-espaces vectoriels de dimension finie K_n[X] = \{ P \in \mathbb K[X] | \deg(P)\leq n\}. On peut alors parler de la matrice lié à la dérivation pour la base B_n = (1,X,\dots, X^n)
Mat(d,B_{n+1},B_n) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 &0& \dots & 0\\
0 & 0 & 2 &0& & 0 \\
0 & 0 & 0 &3 &&0\\
\vdots&&&&\ddots& \vdots \\
0&0&0&0&&n \\
\end{pmatrix} \in M_{n,n+1}[\mathbb K].Exercices
- On considère les espaces vectoriels E et F de dimension fini. Calculer \dim(L(E,F)), \dim(L(E,F)_{(F')}), \dim (\ker\theta) et \dim( \ker\Xi). Astuce : considérer des supplémentaires et utiliser la formule du rang.
- Démontrer que \Xi: L(E,F)_{(F')} \to L(E, F') est une application linéaire.
- Que devient \Theta quand E' = E ? Quand E' = \{0\} ?
- Que deviennent L(E,F)_{(F')} et \Xi quand F' = F ? Quand F' = \{0\} ?
