Cet article a pour but de de présenter tout ce qu’il faut savoir sur les fonctions paires et impaires, comment les reconnaitre, avec des exemples.
Définition des fonctions paires et impaires
Soit I un intervalle symétrique par rapport à 0
Une fonction paire est une fonction telle que \forall x \in I, f(-x) =f(x)
Une fonction impaire est une fonction telle que \forall x \in I, f(-x) =-f(x)
Quand on demande d’étudier la parité d’une fonction, il s’agit de savoir si elle est paire ou impaire.
Interprétation géométrique
Il faut savoir qu’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (symétrie axiale). Les fonctions impaires sont de leur côté symétriques par rapport à l’origine (symétrie centrale).
Comment prouver qu’une fonction est paire ou impaire ?
C’est par le calcul que cela va se faire. Par exemple, prouvons que la fonction carrée est paire :
- On prend x un réel quelconque
- On calcule f(-x)
- On doit prouver que c’est égal à f(x)
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
On peut donc conclure : la fonction carrée est paire.
Attention : il faut bien prouver la propriété pour tout x, il serait par exemple faux de juste montrer par exemple que f(-1) = f(1).
Exemples de fonctions paires ou impaires
Voici quelques exemples de fonction paire :
- Toute fonction constante (dont la fonction nulle)
- La fonction carrée
- La fonction valeur absolue
- Tout polynôme dont les degrés de chacun de ses monômes sont pairs
- La fonction cosinus
- La fonction arccosinus
- La fonction cosinus hyperbolique
Voici quelques exemples de fonction impaire :
- La fonction nulle
- Tout polynôme dont les degrés de chacun de ses monômes sont impairs
- La fonction inverse
- La fonction sinus
- La fonction tangente
- La fonction cotangente
- La fonction arcsinus
- La fonction sinus hyperbolique
Une fonction peut-elle être ni paire ni impaire ?
Sans détour, la réponse est oui. En voici quelques exemples :
- La fonction racine carrée
- L’exponentielle
- Le logarithme
- Un polynôme qui a au moins un monôme de degré pair et un de degré impair
Par exemple, la fonction x \mapsto x +1 n’est ni paire ni impaire. En effet, f(-x) = -x +1 n’est ni égal à -f(x) = -x-1 ni égal à f(x) = x+1.
Quelle fonction est à la fois paire et impaire ?
La fonction nulle est la seule fonction à la fois paire et impaire.
Exercices
Exercice 1
Prouver que la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle
Exercice 2
Quelles sont les fonctions affines paires ?
Exercice 3
Etudier la parité des fonctions suivantes dans leur ensemble de définition :
\begin{array}{l}
a)\ f(x) = x^2 +x\\
b)\ f(x) = \sqrt{4x^2 +5} \\
c)\ f(x) = \dfrac{1}{4x^2 +5} \\
d)\ f(x) = \dfrac{1}{x^3 -x} \\
e)\ f(x) = x^2 -\dfrac{1}{x^2} \\
f)\ f(x) = (1+x)^2 \\
g)\ f(x) = e^{-x^2} \\
h)\ f(x) = \dfrac{1}{2-x} \\
\end{array}Exercice 4
Soit f définie par
x^2+4x-1
- Etudier la parité de f
- Montrer que f admet un axe de symétrie. On pourra pour cela tracer la courbe représentative de f, conjecturer cet axe et en faire la démonstration
Exercice 5
Etudier la parité des fonctions suivantes :
\begin{array}{l}
a)\ f(x) = \tan^2(x)\\
b)\ f(x) = 2\sin(2x)+3 \sin(3x)+4 \sin(4x)\\
c)\ f(x) = \sin(x)\sin(2x) \\
d)\ f(x) = \sin(x)\cos(x) \\
e)\ f(x) =e^x - e^{-x} \\
f)\ f(x) = \dfrac{e^x }{(e^x+1)^2} \\
g)\ f(x) = \dfrac{e^x -1}{e^x +1} \\
\end{array}Exercice 6
Cet exercice est destiné aux élèves dans le supérieur
