Fonctions paires et impaires : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur les fonction paires et impaires : Cours, exemples et exercices corrigés
paire

Cet article a pour but de de présenter tout ce qu’il faut savoir sur les fonctions paires et impaires, comment les reconnaitre, avec des exemples.

Définition des fonctions paires et impaires

Soit I un intervalle symétrique par rapport à 0

Une fonction paire est une fonction telle que \forall x \in I, f(-x) =f(x)

Une fonction impaire est une fonction telle que \forall x \in I, f(-x) =-f(x)

Quand on demande d’étudier la parité d’une fonction, il s’agit de savoir si elle est paire ou impaire.

Interprétation géométrique

Il faut savoir qu’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (symétrie axiale). Les fonctions impaires sont de leur côté symétriques par rapport à l’origine (symétrie centrale).

Comment prouver qu’une fonction est paire ou impaire ?

C’est par le calcul que cela va se faire. Par exemple, prouvons que la fonction carrée est paire :

  • On prend x un réel quelconque
  • On calcule f(-x)
  • On doit prouver que c’est égal à f(x)
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) 

On peut donc conclure : la fonction carrée est paire.

Attention : il faut bien prouver la propriété pour tout x, il serait par exemple faux de juste montrer par exemple que f(-1) = f(1).

Exemples de fonctions paires ou impaires

Voici quelques exemples de fonction paire :

  • Toute fonction constante (dont la fonction nulle)
  • La fonction carrée
  • La fonction valeur absolue
  • Tout polynôme dont les degrés de chacun de ses monômes sont pairs
  • La fonction cosinus
  • La fonction arccosinus
  • La fonction cosinus hyperbolique

Voici quelques exemples de fonction impaire :

  • La fonction nulle
  • Tout polynôme dont les degrés de chacun de ses monômes sont impairs
  • La fonction inverse
  • La fonction sinus
  • La fonction tangente
  • La fonction cotangente
  • La fonction arcsinus
  • La fonction sinus hyperbolique

Une fonction peut-elle être ni paire ni impaire ?

Sans détour, la réponse est oui. En voici quelques exemples :

Par exemple, la fonction x \mapsto x +1 n’est ni paire ni impaire. En effet, f(-x) = -x +1 n’est ni égal à -f(x) = -x-1 ni égal à f(x) = x+1.

Quelle fonction est à la fois paire et impaire ?

La fonction nulle est la seule fonction à la fois paire et impaire.

Exercices

Exercice 1

Prouver que la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle

Exercice 2

Quelles sont les fonctions affines paires ?

Exercice 3

Etudier la parité des fonctions suivantes dans leur ensemble de définition :

\begin{array}{l}
a)\ f(x) = x^2 +x\\
b)\ f(x) = \sqrt{4x^2 +5} \\
c)\ f(x) = \dfrac{1}{4x^2 +5} \\
d)\ f(x) = \dfrac{1}{x^3 -x} \\
e)\ f(x) = x^2 -\dfrac{1}{x^2} \\
f)\ f(x) = (1+x)^2 \\
g)\ f(x) = e^{-x^2} \\
h)\ f(x) = \dfrac{1}{2-x} \\
\end{array}

Exercice 4

Soit f définie par

x^2+4x-1
  1. Etudier la parité de f
  2. Montrer que f admet un axe de symétrie. On pourra pour cela tracer la courbe représentative de f, conjecturer cet axe et en faire la démonstration

Exercice 5

Etudier la parité des fonctions suivantes :

\begin{array}{l}
a)\ f(x) = \tan^2(x)\\
b)\ f(x) = 2\sin(2x)+3 \sin(3x)+4 \sin(4x)\\
c)\ f(x) = \sin(x)\sin(2x) \\
d)\ f(x) = \sin(x)\cos(x) \\
e)\ f(x) =e^x - e^{-x} \\
f)\ f(x) = \dfrac{e^x }{(e^x+1)^2} \\
g)\ f(x) = \dfrac{e^x  -1}{e^x +1} \\
\end{array}

Exercice 6

Cet exercice est destiné aux élèves dans le supérieur

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