Définition
La fonction affine est une fonction définie sur les réels. Elle est définie par 2 paramètres : a et b qui ne dépendent pas de x. On peut donc l’écrire sous la forme
f(x) = ax +b
Si a = 0, on dira plutôt que c’est une fonction constante.
Si b = 0, on dira plutôt que c’est une fonction linéaire.
Et voilà à quoi ressemble sa courbe, ici avec a= 2 et b =1, c’est à dire f(x) = 2x + 1
Et ici avec a = -1 et b = 1, c’est à dire f(x) = -x + 1
Signification des paramètres a et b
Le paramètre a s’appelle la pente. Ce paramètre répond à la question : si x augmente de 1, de combien augmente f ? La réponse est : f augmente de a.
Le paramètre b s’appelle l’ordonnée à l’origine. C’est à dire que l’image de 0 est b. Dit autrement, f(0) = b.
Propriétés de la fonction affine
Proportionnalité
Si x1 et x2 sont deux réels, f(x2) – f(x1) est proportionnel à x2– x1. En effet, le calcul suivant le prouve :
\begin{array}{l}
f(x_2)-f(x_1)\\
= ax_2+b-(ax_1+b) \\
= ax_2+b-ax_1-b\\
= ax_2-ax_1\\
=a(x_2-x_1)
\end{array}Donc ces deux quantités sont proportionnelles d’un facteur a.
Exemple : Si f(x) = 2x+1, f(x2) – f(x1) = 2 (x2– x1)
Et donc en divisant, on peut en déduire la formule suivante :
\text{Si } x_1 \neq x_2, a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}Connaitre 2 points suffit pour connaitre une fonction affine
Remettons ce qu’on a vu au-dessus, pour calculer a, on peut faire :
\text{Si } x_1 \neq x_2, a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}Comme on connait a, on peut alors en déduire b.
\begin{array}{l}
f(x_1) =ax_1 +b\\
\Leftrightarrow f(x_1) = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1 +b \\
\Leftrightarrow \dfrac{f(x_1)(x_2-x_1)}{x_2-x_1} = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1 +b \\
\Leftrightarrow b= \dfrac{f(x_1)(x_2-x_1)}{x_2-x_1} -\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1 \\
\Leftrightarrow b= \dfrac{f(x_1)x_2-f(x_1)x_1}{x_2-x_1} -\dfrac{f(x_2)x_1-f(x_1)x_1}{x_2-x_1}
\end{array}On simplifie pour obtenir :
b= \dfrac{f(x_1)x_2-f(x_2)x_1}{x_2-x_1} Autre méthode, si retenir ces formules est trop compliqué :
On sait que
- f(x1) = ax1 + b
- f(x2) = ax2 + b
Cela fait un système à résoudre
Exemple :
On sait que f est une fonction affine telle que f(1) = 7 et f(2) = 5. Déterminer f.
A partir de là, 2 méthodes :
– On applique directement les formules :
\begin{array}{l}
a = \dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}= \dfrac{5-7}{1}=-2 \\ \\
b = \dfrac{7\times2 - 5 \times 1}{2-1}=\dfrac{14-5}{1}=9
\end{array}Et donc f est la fonction affine définie par f(x) = -2x+9
– On résout un système. On sait que f(x) = ax+b et on va chercher a et b :
- f(1) = a + b = 7
- f(2) = 2a + b = 5
On fait la différence entre la seconde et la première ligne pour en déduire a. D’une part,
f(2) -f(1) = 2a+b-(a+b) = 2a-a+b-b = a
D’autre part,
f(2) -f(1) = 5-7=-2
Donc a = -2.
On utilise ensuite la première ligne pour en déduire b :
\begin{array}{l}
f(1) = -2 + b = 7\\
\Leftrightarrow b = 7+2 =9
\end{array} On trouve bien à nouveau a = -2 et b = 9 et donc la fonction affine s’écrit f(x) = -2x + 9
Croissance et décroissance (monotonie)
Réutilisons ce résultat montré plus haut :
f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)
Les fonctions affines sont monotones avec :
- Si a > 0, la fonction affine est croissante
- Si a < 0, la fonction affine est décroissante
- Et lorsque a =0, c’est une fonction constante
Résolution d’équations
En notant f une fonction affine, l’équation f(x) = c, aura une unique solution a est non nulle :
\begin{array}{l}
f(x) = c\\
\Leftrightarrow ax+b =c \\
\Leftrightarrow ax = c- b \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{c-b}{a}
\end{array}Résolution d’inéquations
On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ c
- Si a > 0 :
\begin{array}{l}
f(x) \geq c\\
\Leftrightarrow ax+b \geq c \\
\Leftrightarrow ax \geq c- b \\
\Leftrightarrow x \geq \dfrac{c-b}{a}
\end{array}- Si a < 0
\begin{array}{l}
f(x) \geq c\\
\Leftrightarrow ax+b \geq c \\
\Leftrightarrow ax \geq c- b \\
\Leftrightarrow x \leq \dfrac{c-b}{a}
\end{array}On a divisé par un nombre négatif donc l’inégalité s’inverse.
Exemple
Résoudre 2x + 1 ≥ 5.
Voici la résolution :
\begin{array}{l}
2x+1\geq 5\\
\Leftrightarrow 2x \geq 5-1\\
\Leftrightarrow 2x \geq 4\\
\Leftrightarrow x \geq \dfrac{4}{2}\\
\Leftrightarrow x \geq 2
\end{array}Résoudre -2x + 1 ≥ 5.
Voici la résolution :
\begin{array}{l}
-2x+1\geq 5\\
\Leftrightarrow -2x \geq 5-1\\
\Leftrightarrow -2x \geq 4\\
\Leftrightarrow x \leq \dfrac{4}{-2}\\
\Leftrightarrow x \leq -2
\end{array}Exercices
Exercice 1
Indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes. Préciser pour chacune le sens de variation
\begin{array}{l}
f(x) = 2x+4\\
g(x) = -\dfrac{5}{8}x +0,3\\
h(x) = 4-5x\\
j(x) = -6 + \dfrac{1}{3}x
\end{array}Exercice 2
Soit la fonction définie par
f(x) = -3+4x
- Montrer que f est bien une fonction affine
- Déterminer son sens de variation
- Représenter graphiquement la fonction f.
Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{array}{l}
-3x+2 \leq 0 \\
4x+5 \geq 12 \\
9x-3 \leq 2 \\
2-5x \geq 6 \\
\end{array}Exercice 4
Cet exercice nécessite de connaitre les identités remarquables.
Soit f définie par
f(x) = (x+7)^2 - x^2
- Montrer que f est une fonction affine.
- Calculer l’antécédent de 5
Exercice 5
Vous lancer un jeu vidéo. Le coût de développement est de 1 000 000 €. La vente de chaque jeu vous coûte 2€. Chaque jeu est vendu 10€.
- Déterminer le coût de production de n jeux f(n).
- Calculer la recette pour n jeux vendus g(n).
- Représenter les deux fonctions obtenus avec une échelle adaptée.
- Combien de jeux faut-il vendre pour être en bénéfice.
- La société pense qu’elle ne peut finalement vendre que 50 000 jeux. A quel prix faut-il être au minimum pour réaliser un bénéfice ?
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