Tout savoir sur la fonction affine

Définition

La fonction affine est une fonction définie sur les réels. Elle est définie par 2 paramètres : a et b qui ne dépendent pas de x. On peut donc l’écrire sous la forme

f(x) = ax +b

Si a = 0, on dira plutôt que c’est une fonction constante.
Si b = 0, on dira plutôt que c’est une fonction linéaire.

Et voilà à quoi ressemble sa courbe, ici avec a= 2 et b =1, c’est à dire f(x) = 2x + 1

Et ici avec a = -1 et b = 1, c’est à dire f(x) = -x + 1

Signification des paramètres a et b

Le paramètre a s’appelle la pente. Ce paramètre répond à la question : si x augmente de 1, de combien augmente f ? La réponse est : f augmente de a.

Le paramètre b s’appelle l’ordonnée à l’origine. C’est à dire que l’image de 0 est b. Dit autrement, f(0) = b.

Propriétés de la fonction affine

Proportionnalité

Si x₁ et x₂ sont deux réels, f(x₂) – f(x₁) est proportionnel à x₂– x₁. En effet, le calcul suivant le prouve :

\begin{array}{l}
f(x_2)-f(x_1)\\
= ax_2+b-(ax_1+b) \\
= ax_2+b-ax_1-b\\
= ax_2-ax_1\\
=a(x_2-x_1)
\end{array}

Donc ces deux quantités sont proportionnelles d’un facteur a.

Exemple : Si f(x) = 2x+1, f(x₂) – f(x₁) = 2 (x₂– x₁)
Et donc en divisant, on peut en déduire la formule suivante :

\text{Si } x_1 \neq x_2, a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

Connaitre 2 points suffit pour connaitre une fonction affine

Remettons ce qu’on a vu au-dessus, pour calculer a, on peut faire :

\text{Si } x_1 \neq x_2, a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

Comme on connait a, on peut alors en déduire b.

\begin{array}{l}
f(x_1) =ax_1 +b\\
\Leftrightarrow f(x_1) = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1 +b \\
\Leftrightarrow  \dfrac{f(x_1)(x_2-x_1)}{x_2-x_1} = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1 +b \\
\Leftrightarrow b=  \dfrac{f(x_1)(x_2-x_1)}{x_2-x_1} -\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x_1  \\
\Leftrightarrow b=  \dfrac{f(x_1)x_2-f(x_1)x_1}{x_2-x_1} -\dfrac{f(x_2)x_1-f(x_1)x_1}{x_2-x_1}  
\end{array}

On simplifie pour obtenir :

b=  \dfrac{f(x_1)x_2-f(x_2)x_1}{x_2-x_1} 

Autre méthode, si retenir ces formules est trop compliqué :

On sait que

• f(x₁) = ax₁ + b
• f(x₂) = ax₂ + b

Cela fait un système à résoudre
Exemple :
On sait que f est une fonction affine telle que f(1) = 7 et f(2) = 5. Déterminer f.
A partir de là, 2 méthodes :
– On applique directement les formules :

\begin{array}{l}
a = \dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}= \dfrac{5-7}{1}=-2 \\ \\
b = \dfrac{7\times2 - 5 \times 1}{2-1}=\dfrac{14-5}{1}=9
\end{array}

Et donc f est la fonction affine définie par f(x) = -2x+9
– On résout un système. On sait que f(x) = ax+b et on va chercher a et b :

• f(1) = a + b = 7
• f(2) = 2a + b = 5

On fait la différence entre la seconde et la première ligne pour en déduire a. D’une part,

f(2) -f(1) = 2a+b-(a+b) = 2a-a+b-b = a 

D’autre part,

f(2) -f(1) = 5-7=-2

Donc a = -2.
On utilise ensuite la première ligne pour en déduire b :

\begin{array}{l}
f(1) = -2 + b = 7\\
\Leftrightarrow b = 7+2 =9
\end{array}  

On trouve bien à nouveau a = -2 et b = 9 et donc la fonction affine s’écrit f(x) = -2x + 9

Croissance et décroissance (monotonie)

Réutilisons ce résultat montré plus haut :

f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)

Les fonctions affines sont monotones avec :

• Si a > 0, la fonction affine est croissante
• Si a < 0, la fonction affine est décroissante
• Et lorsque a =0, c’est une fonction constante

Résolution d’équations

En notant f une fonction affine, l’équation f(x) = c, aura une unique solution a est non nulle :

\begin{array}{l}
f(x) = c\\
 \Leftrightarrow ax+b =c \\
\Leftrightarrow ax = c- b \\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{c-b}{a}
\end{array}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ c

• Si a > 0 :

\begin{array}{l}
f(x) \geq c\\
 \Leftrightarrow ax+b \geq c \\
\Leftrightarrow ax \geq c- b \\
 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{c-b}{a}
\end{array}

• Si a < 0

\begin{array}{l}
f(x) \geq c\\
 \Leftrightarrow ax+b \geq c \\
\Leftrightarrow ax \geq c- b \\
 \Leftrightarrow x \leq \dfrac{c-b}{a}
\end{array}

On a divisé par un nombre négatif donc l’inégalité s’inverse.

Exemple
Résoudre 2x + 1 ≥ 5.
Voici la résolution :

\begin{array}{l}
2x+1\geq 5\\
\Leftrightarrow 2x \geq 5-1\\
\Leftrightarrow 2x \geq 4\\
 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{4}{2}\\
 \Leftrightarrow x \geq 2
\end{array}

Résoudre -2x + 1 ≥ 5.
Voici la résolution :

\begin{array}{l}
-2x+1\geq 5\\
\Leftrightarrow -2x \geq 5-1\\
\Leftrightarrow -2x \geq 4\\
 \Leftrightarrow x \leq \dfrac{4}{-2}\\
 \Leftrightarrow x \leq -2
\end{array}

Exercices

Exercice 1
Indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes. Préciser pour chacune le sens de variation

\begin{array}{l}
f(x) = 2x+4\\
g(x) = -\dfrac{5}{8}x +0,3\\
h(x) = 4-5x\\
j(x) = -6 + \dfrac{1}{3}x
\end{array}

Exercice 2
Soit la fonction définie par

f(x) = -3+4x

1. Montrer que f est bien une fonction affine
2. Déterminer son sens de variation
3. Représenter graphiquement la fonction f.

Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}
-3x+2 \leq 0 \\
4x+5 \geq 12 \\
9x-3 \leq 2 \\
2-5x \geq 6 \\
\end{array}

Exercice 4
Cet exercice nécessite de connaitre les identités remarquables.
Soit f définie par

f(x) = (x+7)^2 - x^2

1. Montrer que f est une fonction affine.
2. Calculer l’antécédent de 5

Exercice 5
Vous lancer un jeu vidéo. Le coût de développement est de 1 000 000 €. La vente de chaque jeu vous coûte 2€. Chaque jeu est vendu 10€.

1. Déterminer le coût de production de n jeux f(n).
2. Calculer la recette pour n jeux vendus g(n).
3. Représenter les deux fonctions obtenus avec une échelle adaptée.
4. Combien de jeux faut-il vendre pour être en bénéfice.
5. La société pense qu’elle ne peut finalement vendre que 50 000 jeux. A quel prix faut-il être au minimum pour réaliser un bénéfice ?

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