Loi de Rademacher : Cours et exercices corrigés

Elle me semble connue, bien qu’elle soit plutôt simple. Découvrez la loi de Rademacher !

Prérequis

• Loi de Bernoulli

Définition

La loi de Rademacher est une loi de probabilité discrète avec un seul paramètre : p. Elle est définie sur l’univers Ω​ = {-1;1}.
Une variable aléatoire X est une loi de Rademacher de paramètres p lorsque sa fonction de masse est :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X=1) &= p\\
\mathbb{P}(X=-1) &= 1-p
\end{array}

Lien avec la loi de Bernoulli

Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors 2X-1 suit une loi de Rademacher.
Réciproquement, si X suit une loi de Rademacher, alors (X+1)/2 suit une loi de Bernoulli

Propriétés

Espérance de la loi de Rademacher

L’espérance de la loi de Rademacher vaut 2p-1. Ce résultat est très facile à démontrer :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X)&=\mathbb{P}(X=1) +(-1) \mathbb{P}(X=-1) \\
&= p - (1-p)\\
& =2p-1
\end{array}

Variance de la loi de Rademacher

La variance de la loi de Rademacher vaut 4p(1-p). Là aussi, le résultat est facile à démontrer :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &= 1^2 \mathbb{P}(X=1) + (-1)^2 \mathbb{P}(X=-1) \\
&= p+ (1-p) \\
&= 1
\end{array}

On a donc :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) &= \mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2 \\
&= 1 -(2p-1)^2 \\
& = 1 - (4p^2 -4p+1)\\
& = 4p-4p^2 \\
& = 4p(1-p) 
\end{array}

Exercices corrigés de loi de Rademacher

Exercice 1

Enoncé : Redémontrer l’espérance et la variance de la loi de Rademacher à partir de la loi de Bernoulli.

Corrigé : Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli. Soit Y = 2X – 1, la loi de Rademacher associée. On sait que :

\mathbb{E}(X) = p, \mathbb{V}(X) = p(1-p)

On utilise alors la linéarité de l’espérance pour obtenir le premier résultat :

\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(2X-1) =2 \mathbb{E}(X)-1 =  2 p-1

Puis, on utilise les propriétés de la variance pour obtenir le second résultat :

\mathbb{V}(Y) = \mathbb{V}(2X-1) = \mathbb{V}(2X) =  4 \mathbb{V}(X)= 4p(p-1)

Ce qui conclut cet exercice !

Exercice 2

Enoncé :

Soit (ε_i)_i≥1 une suite de va indépendantes à valeurs dans {−1, 1} et suivant une loi de Rademacher (P(ε_i = 1) = 1/2 = P(ε_i = −1)). Pour n entier, on pose

w_n = \prod_{i=1}^n \varepsilon_i

Montrer que les variables aléatoires w_n sont indépendantes.

Corrigé : Prenons k ≤ n un entier. Considérons

i_1<\ldots < i_k

Soit

\alpha_i \in  \{-1;1\}

On a alors :

\begin{array}{ll}
&\mathbb{P}(w_{i_1} = \alpha_1 \cap \ldots \cap w_{i_n} = \alpha_n) \\
=&\displaystyle  \mathbb{P}(\prod_{j=1}^{i_1}\varepsilon_j= \alpha_1 \cap \ldots \cap \prod_{j=1}^{i_n} \varepsilon_{j} = \alpha_n)\\
=&\displaystyle \mathbb{P}\left(\prod_{j=1}^{i_1}\varepsilon_j= \alpha_1 \cap \prod_{j=i_1}^{i_2}\varepsilon_j= \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1}  \cap \ldots \cap \prod_{j=1}^{i_n} \varepsilon_{j} = \dfrac{\alpha_n}{\alpha_{n-1}}\right)\\
=&\displaystyle  \mathbb{P}\left(\prod_{j=1}^{i_1}\varepsilon_j= \alpha_1\right) \times \mathbb{P} \left(\prod_{j=i_1}^{i_2}\varepsilon_j= \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1}\right)  \times\ldots \times \mathbb{P}\left(\prod_{j=1}^{i_n} \varepsilon_{j} = \dfrac{\alpha_n}{\alpha_{n-1}}\right)\\
=& \left( \dfrac{1}{2}\right)^k\\
=&\displaystyle \prod_{j=1}^k \mathbb{P}(w_{i_j}= \alpha_j)
\end{array}

Les w_i sont donc bien mutuellement indépendants ce qui