Dans cet article, nous allons vous présenter les mathématiques du Rubik’s Cube avec l’élément le plus intéressant : de combien de manières différentes pouvons-nous arranger un Rubik’s cube ? On va donc se parler de combinatoire !
Prérequis
Nombre d’arrangements du Rubik’s cube
Comme tout cube, le Rubik’s cube a 6 centres, 12 arêtes et 8 coins. Dans la suite, nous allons supposer que les 6 centres sont fixes, car leur position ne peut pas bouger si on fixe l’un des centres.
Maintenant, quels sont les mouvements possibles ?
- On peut positionner chaque arête où on veut parmi ses 12 positions possibles. On a donc 12 choix pour la première, 11 pour la deuxième, 6 pour la troisième, … Ce qui fait qu’on arrive à 12! possibilités
- Même raisonnement pour les 8 coins, nous donnant 8! possibilités. Là où il faut faire attention c’est qu’on ne peut pas échanger juste 2 coins ou 2 arêtes : La position des arêtes et des six premiers coins fixe la position des deux derniers. Il faut donc diviser le résultat par 2.
- Chaque coin a 3 orientations. Mais il y a là aussi des dépendances. L’orientation du dernier coin est déterminée par celle des 7 premiers. On a donc 3^7 possibilités.
- Même chose pour les arêtes, chacune des 12 arêtes à 2 orientations possibles mais l’orientation de la dernière est totalement déterminée par celle des 11 premières. On a donc 2^{11} possibilités.
Si on résume, on a donc
\begin{array}{ll}
& \dfrac{12! \times 8! \times 3^7 \times 2^{11}}{2}\\
=& 12! \times 8! \times 3^7 \times 2^{10}\\
=& 43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000
\end{array}On peut en faire une décomposition en nombres premiers :
43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000 = 2^{27}\times 3^{14} \times 5^2 \times 7^2 \times 11
