Le triangle équilatéral est le triangle le plus régulier qui existe : ses trois côtés sont de même longueur et ses trois angles sont égaux. On le rencontre dès la 6ème en géométrie, puis on le retrouve au brevet et au bac, en trigonométrie, et même dans la vie courante (panneaux de signalisation, structures en treillis…). Dans cet article, on rappelle sa définition et ses propriétés, on démontre les formules de la hauteur et de l’aire, et on termine par des exercices corrigés.
Définition du triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur.
Si on note a la longueur commune des trois côtés, alors AB = BC = CA = a.
On peut aussi le caractériser par ses angles :
Un triangle est équilatéral si et seulement si ses trois angles sont égaux à 60°.
En effet, la somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc si les trois angles sont égaux, chacun vaut \dfrac{180°}{3} = 60°. Réciproquement, dans un triangle, deux côtés sont de même longueur si et seulement si les angles opposés sont égaux (triangle isocèle). Si les trois angles valent 60°, les trois côtés sont donc de même longueur.
Le triangle équilatéral est un cas particulier du triangle isocèle (il est isocèle « trois fois »).
[IMAGE : graphiques/triangle_equilateral.png — triangle équilatéral ABC annoté avec côté a, angles de 60°, hauteur h]
Propriétés du triangle équilatéral
Le triangle équilatéral possède une très forte symétrie. Voici ses propriétés essentielles :
- Ses trois côtés sont de même longueur
- Ses trois angles valent chacun 60°
- Il possède trois axes de symétrie (les trois médiatrices, qui sont aussi les médianes, les hauteurs et les bissectrices)
- Les trois médianes se coupent en un même point, appelé centre de gravité, qui est aussi le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit
Son centre de gravité divise chaque médiane dans le rapport 2:1 à partir du sommet
La dernière propriété est remarquable : dans un triangle équilatéral, centre de gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit et centre du cercle circonscrit sont tous confondus en un seul point.
Hauteur du triangle équilatéral
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a est :
\boxed{h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}Démonstration
On considère un triangle équilatéral ABC de côté a. On trace la hauteur AH issue de A, où H est le pied de la hauteur sur [BC].
Le triangle équilatéral étant isocèle en A (puisque AB = AC), la hauteur issue de A est aussi la médiane : le point H est le milieu de [BC], donc BH = \dfrac{a}{2}.
Le triangle ABH est rectangle en H. On applique le théorème de Pythagore :
AB^2 = AH^2 + BH^2
a^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}Exemple
Un triangle équilatéral a un côté de 6 cm. Sa hauteur vaut :
h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20 \text{ cm}Aire du triangle équilatéral
L’aire d’un triangle se calcule avec la formule \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}. Pour un triangle équilatéral de côté a, la base vaut a et la hauteur vaut \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, donc :
\boxed{\mathcal{A} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}Démonstration
On part de la formule générale de l’aire d’un triangle :
\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{a \times \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}Exemple
Un triangle équilatéral a un côté de 10 cm. Son aire vaut :
\mathcal{A} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3 \text{ cm}^2Périmètre du triangle équilatéral
Le périmètre d’un triangle équilatéral est simplement la somme de ses trois côtés. Comme ils sont tous égaux :
\boxed{P = 3a}Par exemple, un triangle équilatéral de côté 7 cm a un périmètre de 3 \times 7 = 21 cm.
Cercle inscrit et cercle circonscrit
Comme tout triangle, le triangle équilatéral admet un cercle inscrit (tangent aux trois côtés) et un cercle circonscrit (passant par les trois sommets). Grâce à la symétrie du triangle équilatéral, ces deux cercles ont le même centre : le point d’intersection des trois médianes.
Rayon du cercle circonscrit
Le rayon du cercle circonscrit d’un triangle équilatéral de côté a est :
\boxed{R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}}Le centre de gravité divise chaque médiane (de longueur h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}) dans le rapport 2:1 à partir du sommet. Le rayon du cercle circonscrit correspond à la distance du centre à un sommet, soit les \dfrac{2}{3} de la hauteur :
R = \frac{2}{3} \times h = \frac{2}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}Rayon du cercle inscrit
Le rayon du cercle inscrit est :
\boxed{r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}}C’est le tiers restant de la hauteur :
r = \frac{1}{3} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}On remarque que R = 2r : le rayon du cercle circonscrit est exactement le double du rayon du cercle inscrit. Cette relation est propre au triangle équilatéral.
Exemple
Pour un triangle équilatéral de côté 6 cm :
R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ cm} \qquad \text{et} \qquad r = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \text{ cm}Construction au compas
On peut construire un triangle équilatéral avec une règle et un compas en trois étapes :
- Tracer un segment [AB] de la longueur souhaitée (ce sera un côté du triangle).
- Centrer le compas en A avec un écartement égal à AB, puis tracer un arc de cercle. Faire de même depuis B.
- Les deux arcs se coupent en un point C. Le triangle ABC est équilatéral.
Cette construction fonctionne car les points à distance AB de A et à distance AB de B vérifient CA = CB = AB, ce qui est exactement la définition du triangle équilatéral. C’est d’ailleurs la première proposition des Éléments d’Euclide (proposition I.1).
Exercices corrigés
Exercice 1
Calculer l’aire et le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 8 cm.
Corrigé :
Le périmètre est :
P = 3 \times 8 = 24 \text{ cm}L’aire est :
\mathcal{A} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \approx 27{,}7 \text{ cm}^2Exercice 2
L’aire d’un triangle équilatéral vaut 75\sqrt{3} cm². Calculer la longueur de son côté.
Corrigé :
On part de la formule de l’aire et on isole a :
\mathcal{A} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \implies a^2 = \frac{4\mathcal{A}}{\sqrt{3}}On remplace :
a^2 = \frac{4 \times 75\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{300\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 300a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3 \text{ cm}Le côté mesure 10\sqrt{3} cm.
Exercice 3
Un triangle équilatéral ABC a un côté de 12 cm. Calculer le rayon de son cercle inscrit, le rayon de son cercle circonscrit, et vérifier que R = 2r.
Corrigé :
La hauteur du triangle vaut :
h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}Le rayon du cercle circonscrit :
R = \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \text{ cm}Le rayon du cercle inscrit :
r = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ cm}Vérification : R = 4\sqrt{3} = 2 \times 2\sqrt{3} = 2r
Exercice 4 (Brevet)
La hauteur d’un triangle équilatéral mesure 5\sqrt{3} cm. Déterminer la longueur de son côté, son périmètre et son aire.
Corrigé :
On utilise la formule h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} et on isole a :
a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ cm}Le côté mesure 10 cm.
Le périmètre :
P = 3a = 3 \times 10 = 30 \text{ cm}L’aire :
\mathcal{A} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3 \text{ cm}^2FAQ
L’aire d’un triangle équilatéral de côté a est A = a²√3 / 4. On multiplie le carré du côté par racine de 3, puis on divise par 4.
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a est h = a√3 / 2. On obtient cette formule en appliquant le théorème de Pythagore au demi-triangle rectangle formé par la hauteur.
Un triangle équilatéral possède exactement 3 axes de symétrie. Chaque axe passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Ces axes sont à la fois médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices.
Un triangle isocèle a au moins 2 côtés de même longueur, tandis qu’un triangle équilatéral a ses 3 côtés de même longueur. Le triangle équilatéral est donc un cas particulier du triangle isocèle.
